新课标人教版A必修四第二章平面向量第9课时平面向量数量积的物理背景及其含义（教案+同步练习+学案+课件+素材）
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2.4 平面向量的数量积
2.4.1 平面向量数量积的物理背景及其含义
一、教学分析
前面已经知道,向量的线性运算有非常明确的几何意义,因此利用向量运算可以讨论一些几何元素的位置关系.既然向量可以进行加减运算,一个自然的想法是两个向量能否做乘法运算呢?如果能,运算结果应该是什么呢?另外,距离和角是刻画几何元素(点、线、面)之间度量关系的基本量.我们需要一个向量运算来反映向量的长度和两个向量间夹角的关系.众所周知,向量概念的引入与物理学的研究密切相关,物理学家很早就知道,如果一个物体在力F的作用下产生位移s(如图1),那么力F所做的功
图1
W=|F||s|cosθ
功W是一个数量,其中既涉及“长度”,也涉及“角”,而且只与向量F,s有关.熟悉的数的运算启发我们把上式解释为两个向量的运算,从而引进向量的数量积的定义
a•b=|a||b|cosθ.
这是一个好定义,它不仅满足人们熟悉的运算律(如交换律、分配律等),而且还可以用它来更加简洁地表述几何中的许多结果.
向量的数量积是一种新的向量运算,与向量的加法、减法、数乘运算一样,它也有明显的物理意义、几何意义.但与向量的线性运算不同的是,它的运算结果不是向量而是数量.
二、教学目标
1、知识与技能：
掌握平面向量的数量积及其几何意义；掌握平面向量数量积的重要性质及运算律；了解用平面向量的数量积可以处理有关长度、角度和垂直的问题；掌握向量垂直的条件。
2、过程与方法：
通过物理中“功”等实例，理解平面向量数量积的含义及其物理意义；体会平面向量的数量积与向量投影的关系。
3、情感态度与价值观：
通过与物理中“功”的类比抽象出向量的数量积，培养学生的抽象概括能力。
三、重点难点
教学重点:平面向量数量积的定义.
教学难点:平面向量数量积的定义及其运算律的理解和平面向量数量积的应用.
四、教学设想
（一）导入新课
思路1.我们前面知道向量概念的原型就是物理中的力、速度、位移以及几何中的有向线段等概念,向量是既有大小、又有方向的量,它与物理学中的力学、运动学等有着天然的联系,将向量这一工具应用到物理中,可以使物理题解答更简捷、更清晰,并且向量知识不仅是解决物理许多问题的有利工具,而且用数学的思想方法去审视相关物理现象,研究相关物理问课后训练
1．若|a|＝ ，|b|＝1，a•b＝－9，则a与b的夹角是( )
A．120° B．150° C．60° D．30°
2．已知两个非零向量a，b满足|a＋b|＝|a－b|，则下面结论正确的是( )
A．a∥b B．a⊥b
C．|a|＝|b| D．a＋b＝a－b
3．已知|a|＝6，|b|＝3，a•b＝－12，则向量a在向量b方向上的投影是( )
A．－4 B．4 C．－2 D．2
4．已知平面向量a，b满足|a|＝3，|b|＝2，a与b的夹角为60°，若(a－mb)⊥a，则实数m的值为( )
A．1 B． C．2 D．3
5．在△ABC中，若 ＝ ，则△ABC是( )
A．等边三角形 B．锐角三角形
C．钝角三角形 D．直角三角形
6．如图所示，在平行四边形ABCD中，AP⊥BD，垂足为P，且AP＝3，则 • ＝________．
7．已知向量a，b夹角为45°，且|a|＝1，|2a－b|＝ ，则|b|＝________．
8．已知向量a，b满足(a＋2b)•(a－b)＝－6，且|a|＝1，|b|＝2，则a与b的夹角为__________．
§2.4.1平面向量的数量积的物理背景及含义
【学习目标】
1. 在物理中功的概念的基础上，理解向量数量积的概念及几何意义；
2. 掌握数量积的运算式及变式；掌握并能熟练运用数量积的运算律；掌握模长公式.
【学习过程】
一、自主学习
（一）知识链接：如右图，如果一个物体在力 的作用下产生位移 ，那么力 所做的功，其中 是 与 的夹角.
（二）自主探究：（预习教材P103—P105）
探究：平面向量数量积的含义
问题1：功是一个标量，它由力和位移两个向量来确定，这给我们一种启示，能否把“功”看成是这两个向量的一种运算的结果呢？
1、平面向量数量积的定义：已知两个______向量 ，我们把______________叫 的数量积。（或________）记作_________即 ＝___________________其中 是 的夹角。__________叫做向量 方向上的______。我们规定：零向量与任意向量的数量积为____。
问题2：向量的数量积是一个数量，那么它什么时候为正？什么时候为负？
2、平面向量数量积的性质：设 均为非空向量：
① ___________
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