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　　几何不等式
　　东北师大附中  卢秀军
　　一、基础知识
　　1．定义：几何问题中出现的不等式称为几何不等式. 常常表现为角的大小，线段的长短，面积的多少等. 在几何不等式的证明中，将综合运用到我们所学的很多知识，但最首要的是要注意运用几何中基本的不等关系和一些重要定理．证明不等式，视其论证过程中，以运用何种知识为主，大致分为三种方法：几何方法；三角方法；代数方法。
　　2．证明几何不等式常用方法
　　（1）代数方法：利用变量代换、因式分解、配方等手段将几何问题转为代数问题，其思路是：
　　（1）适当地引入变量，将几何问题化为代数问题，特别是二次函数；恰当选择变量为关键；
　　（2）利用重要的几何不等式及代数不等式；
　　（3）当证明涉及三角形不等式时，注意应用：①三边长的固有不等关系；②海伦公式；③边长的大小顺序关系与对应角的大小顺序关系相同，而与对应高、中线及分角线长的顺序相反.
　　（2）三角方法：利用三角函数来反映几何图形的变化规律，从而将几何问题转化为三角问题，这时最常用的三角知识是：
　　（1）三角恒等变形：这主要是应用和、差、倍、半角公式，积化和差及和差化积公式等，制造出便于应用已知不等式的形式，以完成命题的证明；
　　（2）边角互换：这主要是利用三角函数定义、正弦定理、余弦定理等，把一个关于角（边）的不等式转化成边（角）的不等式.
　　（3）几何方法：即指用纯粹的平面几何知识来证明几何不等式，这时最常用的平面几何知识是：
　　（1）抓住几何图形的特征，挖掘几何图形中最基本的几何不等关系.事实上，一些最基本的几何不等关系在有关几何不等式的论证中异常活跃，常常成为解决问题的钥匙；
　　（2）与面积有关的几何不等式也占有重要地位.其内容丰富，涉及面宽，富于智巧.证明这类不等式大都需要利用面积的等积变换、面积公式及面积比的有关定理等知识.
　　3．几个著名代数不等式
　　在几何不等式的证明中，常常需要一些著名的代数不等式——柯西不等式，排序不等式，算术平均不等式等.
　　4．几个著名的几何不等式
　　（1）托勒密定理的推广：
　　在凸四边形ABCD中，一定有： ，等号成立时四边形ABCD是圆内接四边形.
　　证明1：取点 ，使
　　则 ∽
　　∴ ，
　　∴     （1）
　　又
　　∴ ∽
　　∴
　　∴
　　∴
　　上式等号成立当且仅当 在对角线 上.此时 ，从而四边形内接于圆.
　　证明2：复数法
　　设 、 、 、 对应的复数分别是 、 、 、
　　用到下面的恒等式
　　则
　　（2）（嵌入不等式） 设 ，
　　求证： 
　　等号成立的充要条件是： 及 .
　　证明：
　　当且仅当 且 时取等号