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　　数列求和及其综合应用
　　【考点1】裂项相消法求和
　　1．裂项相消法求和：把数列的通项拆成两项之差，在求和时中间的一些项可以相互抵消，从而求得其和．
　　2．裂项相消法求和主要应用在数列通项公式为分式结构时，其关键在于裂项后系数的确定．
　　3．裂项求和的几种常见类型：
　　（1） ；
　　（2）1n＋k＋n＝1k（n＋k－n）；
　　（3） ；
　　（4）若{an}是公差为d的等差数列，则 ；
　　（5） ；
　　（6） ；
　　（7） ；
　　（8） ．
　　例1（2014•全国卷）等差数列{an}的前n项和为Sn．已知a1＝10，a2为整数，且Sn≤S4．
　　（1）求{an}的通项公式；
　　（2）设bn＝1anan＋1，求数列{bn}的前n项和Tn．
　　【点拨】（1）根据条件求得103≤d≤－52，从而确定d＝－3，故求得an＝13－3n．（2）利用裂项相消法求和，注意剩余项的个数．
　　【解析】（1）由a1＝10，a2为整数知，等差数列{an}的公差d为整数．又Sn≤S4，故a4≥0，a5≤0，于是10＋3d≥0，10＋4d≤0，解得－103≤d≤－52，因此d＝－3．故数列{an}的通项公式为an＝13－3n．
　　（2）bn＝1（13－3n）（10－3n）＝13110－3n－113－3n．于是Tn＝b1＋b2＋…＋bn＝1317－110＋14－17＋…＋110－3n－113－3n＝13110－3n－110＝n10（10－3n）．
　　【答案】（1）an＝13－3n；（2）n10（10－3n）．
　　【小结】本题考查裂项相消法求和．