《平面向量的线性运算与坐标表示》学案
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约3010字。
课题4 平面向量的线性运算与坐标表示
一、学习目标:
1.理解向量相等的含义,掌握向量加、减法和数乘运算,理解其几何意义;理解向量共线定理,了解向量的线性运算性质及其几何意义;
2.了解平面向量的基本定理及其意义,掌握平面向量的正交分解及其坐标表示;会用坐标表示平面向量的加、减与数乘运算;理解用坐标表示的平面向量共线的条件.
二、基础回顾:
⒈若向量 =(2,3), =(4,7), 则 =___________
【考点】平面向量的坐标运算。
【解析】 = 。
⒉ 若向量a=(3,2),b=(0,-1),则向量2b+a的坐标是________.
【解析】 2b+a=2(0,-1)+(3,2)=(0,-2)+(3,2)=(3,0).
【答案】 (3,0)
⒊ 已知点 在线段 上,且 ,设 ,则实数 = .
⒋在平面直角坐标系中, ,将向量 按逆时针旋转 后,得向量 ,则点 的坐标是_______________
【考点】向量的计算。
【解析】∵
∴设 ,得 。
又∵向量 按逆时针旋转 后,得向量 ,
∴
⒌已知点P在△ABC 所在的平面内,若2 +3 +4 =3 ,则△PAB与△PBC的面积的比值为________.
解析:因为2 +3 +4 =3 ,
所以2 +3 +4 =3 -3 ,
即5 +4 =0,
所以△PAB与△PBC的面积的比为PA∶PC=4∶5.
答案:45
三、典例精析
题型1 平面向量的坐标运算
例1已知A(-2,4),B(3,-1),C(-3,-4).设 =a, =b, =c.
(1)求3a+b-3c;
(2)求满足a=mb+nc的实数m,n.
解:由已知得a=(5,-5),b=(-6,-3),c=(1,8).
(1)3a+b-3c=3(5,-5)+(-6,-3)-3(1,8)
=(15-6-3,-15-3-24)
=(6,-42).
(2)∵mb+nc=(-6m+n,-3m+8n),
∴-6m+n=5,-3m+8n=-5,解得m=-1,n=-1.
1.向量的坐标运算实现了向量运算代数化,将数与形结合起来,从而可使几何问题转化为数量运算.
2.两个向量相等当且仅当它们的坐标对应相同.此时注意方程(组)思想的应用.
借题发挥1:
向量a,b,c在正方形网格中的位置如图所示.若c=λa+μb(λ,μ∈R),则λμ=________.
解析:设i,j分别为水平方向和竖直方向上的正向单位向量,则a=-i+j,b=6i+2j,c=-i-3j,所以-i-3j=λ(-i+j)+μ(6i+2j),根据平面向量基本定理得λ=-2,μ=-12,所以λμ=4.
答案:4
题型2 平面向量的线性运算
例2.设D,E分别是△ABC的边AB,BC上的点,AD=12AB,BE=23BC.若 =λ1 +λ2 (λ1,λ2为实数),则λ1+λ2的值为________.
[解析] 由题意 = + =12 +23 =12 +23( + )=
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