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共23道小题，约1970字。

　　虹口区2013学年度第一学期高三年级数学学科
　　期终教学质量监控测试题
　　（时间120分钟，满分150分）                   2014.1
　　一、填空题（每小题4分，满分56分）
　　1、已知全集 ， ，如果  ，则         ．
　　2、不等式 的解集是       ．
　　3、如果 对一切 都成立，则实数 的取值范围是               ．
　　4、从长度分别为1、2、3、4的四条线段中任意取三条，则以这三条线段为边可以构成三角形的概率是         ．
　　5、双曲线 的焦点到渐近线的距离等于           ．
　　6、已知 是定义在 上的偶函数，且在 上单调递增，则满足  的实数 的范围是          ．
　　7、已知 的展开式中，含 项的系数等于160，则实数        ．
　　8、已知 是各项均为正数的等比数列，且 与 的等比中项为2，则 的最小值等于            ．
　　9、已知椭圆的中心在原点，一个焦点与抛物线 的焦点重合，一个顶点的坐标为 ，则此椭圆方程为          ．
　　10、给出以下四个命题：
　　（1）对于任意的 ， ，则有 成立；
　　（2）直线 的倾斜角等于 ；
　　（3）在空间如果两条直线与同一条直线垂直，那么这两条直线平行；
　　（4）在平面将单位向量的起点移到同一个点，终点的轨迹是一个半径为1的圆．
　　其中真命题的序号是         ．
　　11、已知 是定义在 上的奇函数，且当 时， ，则此函数的值域为        ．
　　12、已知函数 ，对于实数 、 、 有 ， ，则 的最大值等于      ．
　　13、已知函数 ，且 ，则         。
　　14、函数 与函数 的图像所有交点的橫坐标之和为         ．
　　二、选择题（每小题5分，满分20分）
　　15、已知 ，  ，则下列结论中正确的是（    ）
　　16、函数 ，下列结论不正确的（    ）
　　此函数为偶函数．                  此函数是周期函数．        
　　此函数既有最大值也有最小值．      方程 的解为 ．
　　17、在 中，记角 、 、 所对的边分别为 、 、 ，且这三角形的三边长是公差为1的等差数列，若最小边 ，则 （     ）．
　　18、如图1，一个密闭圆柱体容器的底部镶嵌了同底的圆锥实心装饰块，容器内盛有 升水．平放在地面,则水面正好过圆锥的顶点 ，若将容器倒置如图2，水面也恰过点  ．以下命题正确的是(     )．
　　圆锥的高等于圆柱高的 ；
　　圆锥的高等于圆柱高的 ；          
　　将容器一条母线贴地，水面也恰过点 ；     将容器任意摆放，当水面静止时都过点 ．
　　三、解答题（满分74分）
　　19、（本题满分12分）如图在长方体 中， ， ， ，点 为 的中点，点 为 的中点．
　　（1）求长方体 的体积；
　　（2）若 ， ， ，求异面直线 与 所成的角．
　　20、（本题满分14分）已知 ． ，其中 、 为锐角，且 ．
　　（1）求 的值；
　　（2）若 ，求 及 的值．
　　21、（本题满分14分）数列 是递增的等差数列，且 ， ．
　　（1）求数列 的通项公式；
　　（2）求数列 的前 项和 的最小值；
　　（3）求数列 的前 项和 ．
　　22、（本题满分16分）已知圆 过定点 ，圆心 在抛物线 上， 、 为圆 与 轴的交点．
　　（1）当圆心 是抛物线的顶点时，求抛物线准线被该圆截得的弦长．
　　（2）当圆心 在抛物线上运动时， 是否为一定值？请证明你的结论．
　　（3）当圆心 在抛物线上运动时，记 ， ，求 的最大值，并求出此时圆 的方程．
　　23、（本题满分18分）．设函数 ．
　　（1）求函数 在 上的值域；
　　（2）证明对于每一个 ，在 上存在唯一的 ，使得 ；
　　（3）求 的值．
　　虹口区2014年数学学科高考练习题答案
　　一、填空题（每小题4分，满分56分）
　　1、 ；      2、 ；      3、 ；         4、 ；        5、3；    
　　6、 ；    7、 ；     8、4；      9、 ；      10、（1）（4）；   
　　11、 ；    12、 ；         13、 ；      14、17；
　　二、选择题（每小题5分，满分20分）
　　15、 ；     16、 ；      17、 ；      18、 ；
　　三、解答题（满分74分）
　　19、(12分) 解：（1） 连 、 ．  是直角三角形，  ．…………1分
　　是长方体，  ， ，又 ，
　　平面 ，  ．
　　又在 中， ， ，  ，……………4分  ………6分
　　（2）取 的中点 ，连 、 ．
　　， 四边形 为平行四边形， ，  等于异面直线 与 所成的角或其补角．…………8分
　　， ， ，得 ， ， ，……10分
　　， ．
　　异面直线 与 所成的角等于 ………………12分
　　20、（14分）解：（1）由 ，得 ，
　　得 ，得 ．…………4分
　　（2）  ，  ．……………6分
　　， …………10分
　　当 时， ．
　　当 时， ．
　　为锐角，  ………………………………14分
　　21、（14分）解：（1） 由  ，得 、 是方程 的二个根，  ， ，此等差数列为递增数列，  ， ，公差 ， ． ………………4分
　　（2）  ， ，
　　……………………8分
　　（3）由 得 ，解得 ，此数列前四项为负的，第五项为0，从第六项开始为正的．……………………10分
　　当 且 时，
　　．…………12分
　　当 且 时，
　　．……………………14分
　　22、（16分）解：（1）抛物线 的顶点为 ，准线方程为 ，圆的半径等于1，圆 的方程为 ．弦长 ………………………4分
　　（2）设圆心 ，则圆 的半径 ，
　　圆 的方程是为： …………6分
　　令 ，得 ，得 ， ，
　　是定值．………………8分
　　（3）由（2）知，不妨设 ， ， ， ．
　　．………………11分
　　当 时， ．………………12分
　　当 时， ．
　　当且仅当 时，等号成立…………………………14分
　　所以当 时， 取得最大值 ，此时圆 的方程为 ．
　　………………………………16分
　　23、（18分）解：（1） ，由  令 ， ．
　　对称轴 ， 在 上单调递增， 在 上的值域为 ．………………4分
　　（2） 对于 ， 有 ， ，从而 ，  , ,在 上单调递减,   ,
　　在 上单调递减．
　　又 .
　　.………………7分
　　当 时，
　　（注用数学归纳法证明 相应给分）
　　又 ，即对于任意自然数 有
　　对于每一个 ，存在唯一的 ，使得 ………………11分
　　（3） ．
　　当 时， ．
　　.………………14分
　　当 且 时， ．
　　……………18分
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