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共20道小题，约8140字。

　　2012-2013学年江苏省常州高级中学高三（上）12月月考数学试卷（理科）
　　一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．
　　1．（5分）若复数 ）是纯虚数，则实数a的值为　﹣1　．
　　考点： 复数代数形式的乘除运算．
　　专题： 计算题．
　　分析： 将 化为 再判断即可．
　　解答： 解：∵ = = 是纯虚数，
　　∴a+1=0且1﹣a≠0，
　　∴a=﹣1．
　　故答案为：﹣1．
　　点评： 本题考查复数代数形式的乘除运算，将复数 的分母实数化是关键，属于基础题．
　　2．（5分）（2013•松江区一模）集合A={0，2，a}，B={1，a2}，若A∪B={0，1，2，4，16}，则a的值为　4　．
　　考点： 并集及其运算．
　　专题： 计算题．
　　分析： 根据题意，由并集的计算方法，结合a与a2的关系，易得  ，即可得答案．
　　解答： 解：∵A={0，2，a}，B={1，a2}，A∪B={0，1，2，4，16}
　　∴
　　∴a=4，
　　故答案为：4．
　　点评： 本题考查了集合的并集运算，并用观察法得到相对应的元素，从而求得答案，本题属于容易题．
　　3．（5分）经过点（2，﹣1），且与直线2x﹣3y﹣1=0垂直的直线方程是　3x+2y﹣4=0　．
　　考点： 直线的一般式方程与直线的垂直关系．
　　专题： 直线与圆．
　　分析： 由题意易得直线2x﹣3y﹣1=0的斜率为，进而可得所求直线的斜率，又该直线过定点，由点斜式可得方程，化为一般式即可．
　　解答： 解：根据题意，易得直线2x﹣3y﹣1=0的斜率为，
　　根据互相垂直的直线的斜率的关系，可得l的斜率为 ，
　　又由直线经过点（2，﹣1），
　　则所求的直线方程为y+1=﹣（x﹣2），即3x+2y﹣4=0，
　　故答案为：3x+2y﹣4=0．
　　点评： 本题为直线方程的求解，由垂直关系找出直线的斜率是解决问题的关键，注意最后要化为直线方程的一般式，属基础题．
　　4．（5分）平面直接坐标系xoy中，角α的始边与x轴的正半轴重合，终边在直线y=﹣ x上，则sinα=　± 　．
　　考点： 直线的倾斜角．
　　专题： 直线与圆．
　　分析： 因为知道了角α的终边，可以在角的终边上任取一点，求出该点到原点的距离，直接运用三角函数的定义求解．
　　解答： 解：在直线y=﹣ x上任意取一点（a，﹣ a），且a≠0 则，r= =2|a|，
　　再由sinα== =± ，
　　故答案为± ．
　　点评： 本题考查了任意角的三角函数定义，解答此题的关键是熟记定义，是基础题．
　　5．（5分）某学校有两个食堂，甲、乙、丙三名学生各自随机选择其中的一个食堂用餐，则他们在同一个食堂用餐的概率为　　．
　　考点： 相互独立事件的概率乘法公式．
　　专题： 计算题．
　　分析： 由于学校有两个食堂，不妨令他们分别为食堂A、食堂B，则甲、乙、丙三名学生选择每一个食堂的概率均为，代入相互独立事件的概率乘法公式，即可求出他们同在食堂A用餐的概率，同理，可求出他们同在食堂B用餐的概率，然后结合互斥事件概率加法公式，即可得到答案．
　　解答： 解：甲、乙、丙三名学生选择每一个食堂的概率均为，
　　则他们同时选中A食堂的概率为： =；
　　他们同时选中B食堂的概率也为： =；
　　故们在同一个食堂用餐的概率P=+=
　　故答案为：
　　点评： 本小题主要考查相互独立事件概率的计算，运用数学知识解决问题的能力，要想计算一个事件的概率，首先我们要分析这个事件是分类的（分几类）还是分步的（分几步），然后再利用加法原理和乘法原理进行求解．
　　6．（5分）右图是一个算法流程图，则执行该算法后输出的s=　81　．
　　考点： 循环结构．
　　专题： 计算题．
　　分析： 按照程序框图的流程写出前几次循环的结果，并判断每一次得到的结果是否满足判断框中的条件，直到满足条件，执行输出．
　　解答： 解：当i=1时，不满足退出循环的条件，S=3，i=2；
　　当i=2时，不满足退出循环的条件，S=9，i=3；
　　当i=3时，不满足退出循环的条件，S=27，i=4；
　　当i=4时，不满足退出循环的条件，S=81，i=5；
　　当i=5时，满足退出循环的条件，
　　故答案为：81
　　点评： 本题主要考查了循环结构，在解决程序框图中的循环结构时，常采用写出前几次循环的结果，找规律，属于基础题．
　　7．（5分）（2012•重庆）设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a=1，b=2，cosC=，则sinB=　 　．
　　考点： 余弦定理；同角三角函数间的基本关系．
　　专题： 计算题．
　　分析： 由C为三角形的内角，及cosC的值，利用同角三角函数间的基本关系求出sinC的值，再由a与b的值，利用余弦定理列出关于c的方程，求出方程的解得到c的值，再由sinC，c及b的值，利用正弦定理即可求出sinB的值．
　　解答： 解：∵C为三角形的内角，cosC=，
　　∴sinC= = ，
　　又a=1，b=2，
　　∴由余弦定理c2=a2+b2﹣2abcosC得：c2=1+4﹣1=4，
　　解得：c=2，
　　又sinC= ，c=2，b=2，
　　∴由正弦定理 = 得：sinB= = = ．
　　故答案为：
　　点评： 此题考查了同角三角函数间的基本关系，正弦、余弦定理，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握定理及基本关系是解本题的关键．
　　8．（5分）设向量 ， ， ， 的夹角为120°，则实数k=　3　．
　　考点： 数量积表示两个向量的夹角．
　　专题： 计算题；平面向量及应用．
　　分析： 由向量夹角公式可得，cos120°= = ＜0可知，k＞0，解方程即可求解k
　　解答： 解：由向量夹角公式可得，cos120°= = =﹣
　　∴k＞0
　　整理可得，k2=9
　　∴k=3
　　故答案为：3
　　点评： 本题主要考查了向量夹角公式的坐标表示，解题中不要漏掉对k的范围的判断，本题容易漏掉判断k而产生两解k=±3
　　9．（5分）（2007•东城区一模）过点 的直线l与圆C：（x﹣1）2+y2=4交于A、B两点，C为圆心，当∠ACB最小时，直线l的方程为 
　　2x﹣4y+3=0　．
　　考点： 直线和圆的方程的应用；直线的一般式方程．
　　专题： 计算题．
　　分析： 研究知点 在圆内，过它的直线与圆交于两点A，B，当∠ACB最小时，直线l与CM垂直，故先求直线CM的斜率，再根据充要条件求出直线l的斜率，由点斜式写出其方程．
　　解答： 解：验证知点 在圆内，
　　当∠ACB最小时，直线l与CM垂直，
　　由圆的方程，圆心C（1，0）
　　∵kCM= =﹣2，
　　∴kl=
　　∴l：y﹣1=（x﹣），整理得2x﹣4y+3=0
　　故应填2x﹣4y+3=0
　　点评： 本题考点是直线与圆的位置关系，考查到了线线垂直时斜率之积为﹣1，以及用点斜式写出直线的方程．
　　10．（5分）已知函数f（x）= ，若f（3﹣2a2）＞f（a），则实数a的取值范围是　a＜﹣或a＞1　．
　　考点： 函数解析式的求解及常用方法；函数单调性的性质．
　　专题： 计算题．
　　分析： 当x≥0时， 是减函数，所以y=log2（ ）也是减函数．此时的最大值是f（0）=log2（ ）=log21=0．
　　当x＜0时，y=（）2x﹣1是减函数．此时的最小值（）0﹣1=0．所以函数在R上是减函数．因为f（3﹣2a2）＞f（a），
　　所以3﹣2a2＜a，2a2+a﹣3＞0，解得a＞1或a＜﹣．
　　解答： 解：当x≥0时， 是减函数，
　　所以y=log2（ ）也是减函数．
　　此时的最大值是f（0）=log2（ ）=log21=0．
　　当x＜0时，y=（）2x﹣1是减函数．
　　此时的最小值（）0﹣1=0．
　　所以函数在R上是减函数．
　　因为f（3﹣2a2）＞f（a），
　　所以3﹣2a2＜a，2a2+a﹣3＞0，
　　解得a＞1或a＜﹣．
　　故答案为：a＞1或a＜﹣．