《正弦定理》学案1
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约1140字。
1.1.1正弦定理
学习目标
通过对任意三角形边长和角度关系的探索,掌握正弦定理的内容及其证明方法;会运用正弦定理与三角形内角和定理解斜三角形的两类基本问题。让学生从已有的几何知识出发,共同探究在任意三角形中,边与其对角的关系,引导学生通过观察,推导,比较,由特殊到一般归纳出正弦定理,并进行定理基本应用的实践操作。
教学重点 正弦定理及其推导.
教学难点 用正弦定理解三角形时解的个数的讨论.
学习关键
(1)定理的表示形式: ;
或 , ,
(2)正弦定理的应用范围:
①已知两角和任一边,求其它两边及一角;
②已知两边和其中一边对角,求另一边的对角。
自学指导
1. 正弦定理的证明:
① 定义法(教科书中给出)
如图1,在 中, 是最大的角,所对的斜边 是最大的边,要考虑边长之间的数量关系,就涉及到了锐角三角函数.根据正弦函数的定义,
,
.
所以
.
又 ,所以
.
那么,对于一般的三角形,以上关系式是否仍然成立呢?
如图2,当 是锐角三角形时,设边 上的高是 ,根据三角函数的定义,
,
,
所以
,
得到
.
同理,在 中,
.
所以
.
② 向量法
如图3, 为锐角三角形时,过 作三位向量 垂直于 ,则 与 的夹角为 , 与 的夹角为 , 与 的夹角为 ,设 , , .
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