《两角和与差的余弦、正弦、正切》教案
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约1750字。
第四课时 两角和与差的余弦、正弦、正切(一)
教学目标：
掌握S（α±β），Ｃ（α±β)及T（α±β）的灵活应用，综合应用上述公式的技能；培养学生观察、推理的思维能力，使学生认识到事物间是有联系的，培养学生判断、推理的能力、加强化归转化能力的训练，提高学生的数学素质.
教学重点：
S（α±β），C（α±β），T（α±β）的灵活应用.
教学难点：
灵活应用和、差角公式进行化简、求值、证明.
教学过程：
Ⅰ.复习回顾
请同学们回顾一下这一段时间我们一起所学的和、差角公式.
sin（α±β）＝sinαcosβ±cosαsinβ(S（α±β））
cos（α±β）＝cosαcosβ sinαsinβ(C（α±β））
tan（α±β）＝tanα±tanβ1 tanαtanβ （T（α±β））
Ⅱ.讲授新课
这三个公式即为两角和(差)公式.下面请同学们思考这一组公式的区别与联系.首先，可考虑一下这组公式的推导体系.
我们为推导这组公式先引入平面内两点间距离公式，然后利用单位圆，三角函数的定义，最先推导出余弦的和角公式Ｃ（α＋β），然后按如下顺序推导其余公式：
Ｃ（α＋β）→Ｃ（α－β）→S（α＋β）→S（α－β）→T（α＋β）→T（α－β）.
它们又有什么内在联系呢?
下面，结合例题来看一下如何灵活运用这组公式：
［例1］求证sin（α＋β）sin（α－β）sin2αcos2β ＝1－tan2β tan2α
分析：证明三角恒等式，一般要遵循“由繁到简”的原则，另外“化弦为切”与“化切为弦”也是在三角式的变换中经常使用的方法.
证明：左边＝（sinαcosβ＋cosαsinβ）（sinαcosβ－cosαsinβ）sin2αcos2β
＝sin2αcos2β－cos2αsin2βsin2αcos2β ＝1－cos2αsin2βsin2αcos2β ＝1－tan2β tan2α ＝右边，
∴原式成立.
或：右边＝1－cos2αsin2βsin2αcos2β ＝sin2αcos2β－cos2αsin2βsin2αcos2β
＝（sinαcosβ＋cosαsinβ）（sinαcosβ－cosαsinβ）sin2αcos2β
＝sin（α＋β）sin（α－β）sin2αcos2β ＝左边 ∴原式成立.
［例2］已知sinβ＝m•sin（2α＋β），求证：tan（α＋β）＝1＋m1－m tanα
分析：仔细观察已知式与所证式中的角，不要盲目展开，要有的放矢，看到已知式中的2α＋β可化为结论式中的α＋β与α的和，不妨将α＋β作为一整体来处理.
证明：由sinβ＝msin（2α＋β）
sin［（α＋β）－α］＝ｍsin［（α＋β）＋α］
sin（α＋β）cosα－cos（α＋β）sinα
＝ｍ［sin（α＋β）cosα＋cos（α＋β）sinα］
（1－m）•sin（α＋β）cosα＝（1＋m）•cos（α＋β）sinα
tan（α＋β）＝1＋m1－m tanα
评述：此方法是综合法，利用综合法证明恒等式时，必须有分析的基础，才能顺利完成证明.
［例3］求tan70°＋tan50°－3 tan50°tan70°的值.
分析：观察所求式子，联想有关公式T（α＋β），注意到它的变形式：
tanα＋tanβ＝tan（α＋β）（1－tanαtanβ）.运用之可求解.
解：原式＝tan（70°＋50°）（1－tan70°tan50°）－3 tan50°tan70°
＝－3 （1－tan70°tan50°）－3 tan50°tan70°
＝－3 ＋3 tan70°tan50°－3 tan50°tan70°＝－3
∴原式的值为－3 .
Ⅲ.课堂练习
1.化简下列各式：
(1)cos（α＋β）cosβ＋sin（α＋β）sinβ
(2)sin2xsinx－cosx －sinx＋cosxtan2x－1 －sinx－cosx
解：(1)cos（α＋β）cosβ＋sin（α＋β）sinβ
＝cos［（α＋β）－β］＝cosα
这一题可能有些学生要将cos（α＋β）与sin（α＋β）按照两角和的正、余弦公式展开，从而误入歧途，老师可作适当提示，让学生仔细观察此题结构特征，就整个式子直接运用公式以化简.
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