《排列组合专题之染色问题》教案

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  • 资源类别: 人教课标版 / 高中教案 / 高考复习教案
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  • 更新时间: 2011/11/10 17:23:35
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约2890字。

  排列组合专题之染色问题
  【引例】
  引例1.在一个正六边形的6个区域栽种观赏植物,如右图,要求同一块中种同一种植物,相邻的两块种不同的植物.现有四种不同的植物可供选择,则有________种栽种方案.
  引例2.某城市在中心广场建造一个花圃,花圃分为6个部分(如图),现要栽种4种不同颜色的花,每部分栽种一种且相邻部分不能栽种同样颜色的花,不同的栽种方法有_____种.(以数字作答)
  【分析】首先栽种第1部分,有 种栽种方法;
  然后问题就转化为用余下3种颜色的花,去栽种周围的5个部分(如右图所示),
  此问题和引例1是同一题型,因此我们有必要对这一题型的解法做一深入探讨。
  【剖析】
  为了深入探讨这一题型的解法,
  (1)让我们首先用m(m≥3)种不同的颜色(可供选择),去涂4个扇形的情形
  (要求每一个扇形着一种颜色,相邻扇形着不同颜色),如图所示
  以1和3(相间)涂色相同与否为分类标准:
  ①1和3涂同一种颜色,有m种涂法;2有m-1种涂法,4也有m-1种涂法,
  ∴ 共有  种涂法。
  ②1和3涂不同种颜色,有 种涂法;2有m-2种涂法,4也有m-2种涂法,
  ∴ 共有  种涂法。
  综合①和②,共有 +  种涂法。
  (2)下面来分析引例1
  以A、C、E(相间)栽种植物情况作为分类标准:
  ①A、C、E栽种同一种植物,有4种栽法;B、D、F各有3种栽法,
  ∴ 共有 4×3×3×3=108 种栽法。
  ②A、C、E栽种两种植物,有 种栽法( 是4种植物中选出2
  种, 是A、C、E3个区域中选出2个区域栽种同一种植物, 是
  选出的2种植物排列),B、D、F共有3×2×2 种栽法(注:若A、C栽种同一种植物,则B有
  3 种栽法,D、F各有2种栽法),
  ③A、C、E栽种3种植物,有 种栽法;B、D、F各有2种栽法,
  ∴ 共有  ×2×2×2=192 种栽法。
  综合①、②、③,共有 108+432+192=732种栽法。
  (3)上述(1)、(2)给出了“设一个圆分成P1,P2,…,Pn,共n(n为偶数)个扇形,用m种不同的颜色对这n个扇形着色(m≥3,n≥3),每一个扇形着一种颜色,相邻扇形着不同颜色,共有多少种不同的着色方法”这类问题的一般解题思路:即以相间扇形区域的涂色情况作为分类标准,再计算其余相间扇形区域的涂色种数。
  (4)那么,“设一个圆分成P1,P2,…,Pn,共n(n为奇数)个扇形,用m种不同的颜色对这n个扇形着色(m≥3,n≥3),每一个扇形着一种颜色,相邻扇形着不同颜色,共有多少种不同的着色方法” 这类问题的解题思路又如何呢?

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