初中数学竞赛辅导资料
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初中数学竞赛辅导资料及参考答案（初二上部分，共12份）
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初中数学竞赛辅导资料（17）
奇数 偶数
甲内容提要
1． 奇数和偶数是在整数集合里定义的，能被2整除的整数是偶数，如2，0－2…，不能被2整除的整数是奇数，如－1，1，3。
如果n 是整数，那么2n是偶数，2n－1或2n+1是奇数。如果n是正整数，那么2n是正偶数，2n-1是正奇数。
2． 奇数、偶数是整数的一种分类。可表示为：
整数 或 整数集合
这就是说，在整数集合中是偶数就不是奇数，不是偶数就是奇数，如果既不是偶数又不是奇数，那么它就不是整数。
3． 奇数偶数的运算性质：
奇数±奇数＝偶数，奇数±偶数＝奇数，偶数±偶数＝偶数
奇数×奇数＝奇数 奇数×偶数＝偶数，偶数×偶数＝偶数
奇数的正整数次幂是奇数，偶数的正整数次幂是偶数，
两个連续整数的和是奇数，积是偶数。
乙例题
例1 求证：任意奇数的平方减去1是8的倍数
证明：设k为整数，那么2k－1是任意奇数，
（2k－1）2－1＝4k2－4k＋1－1＝4k(k－1)
∵k(k－1)是两个連续整数的积，必是偶数 ∴4k(k－1)是8的倍数
即任意奇数的平方减去1是8的倍数
例2 已知：有n个整数它们的积等于n，和等于0
求证：n是4的倍数
证明：设n个整数为x1,x2,x3,…xn 根据题意得
初中数学竞赛辅导资料（21）
比较大小
甲内容提要
1． 比较两个代数式的值的大小，一般要按字母的取值范围进行讨论，常用求差法。根据不等式的性质：
当a－b＞0时，a＞b； 当a－b＝0时，a=b； 当a－b＜0时a＜b。
2． 通常在写成差的形式之后，用因式分解化为积的形式，然后由负因数的个数决定其符号。
3． 需要讨论的可借助数轴，按零点分区。
4． 实数（有理数和无理数的统称）的平方是非负数，在决定符号时常用到它。即若a是实数，则a2≥0，由此而推出一系列绝对不等式（字母不论取什么值，永远成立的不等式）。诸如
(a－b)2≥0， a2+1＞0， a2+a+1=(a+ )2+ ＞0
－a2≤0， －（a2+a+2）＜0 当a≠b时，－（a－b）2＜0
乙例题
例1 试比较a3与a的大小
解：a3－a=a(a+1)(a－1)
a3－a=0,即a3=a
以－1，0，1三个零点把全体
实数分为4个区间，由负因数的个数决定其符号：
当a＜－1时，a+1＜0,a＜0,a－1＜0（3个负因数）∴a3－a＜0 即a3＜a
当－1＜a＜0时 a＜0,a－1＜0（2个负因数） ∴a3－a＞0 即a3＞a
当0＜a＜1时， a－1＜0（1个负因数） ∴a3－a＜0 即a3＜a
当a＞1时，没有负因数， ∴a3－a＞0 即a3＞a
综上所述当a=0,－1，1时， a3=a
当a＜－1或0＜a＜1时，a3＜a
当－1＜a＜0或a＞1时，a3＞a。 （试总结符号规律）
例2 什么数比它的倒数大？
解：设这个数为x，则当并且只当x － ＞0时，x 比它的倒数大，
初中数学竞赛辅导资料(25)
十进制的记数法
甲内容提要
1. 十进制的记数法就是用0，1，2…9十个数码记数的方法，位率是逢十进一。底数为10的各整数次幂，恰好是十进制数的各个位数：
100=1(个位数—第1位)， 101=10(十位上的数---第2位)，
102=100(百位上的数---第3位)，…10n(第n+1位上的数)
例如54307记作5×104+4×103+3×102+0×101+7×100
2. 十进制的n位数(n为正整数)， 记作：
10n-1a1+10n-2a2+10n-3+…+102an-2+10an-1+an
其中最高位a1≠0，即0<a1≤9，其它是0≤a1,a2,a3…an≤9
3. 各位上的数字相同的正整数记法：
例如∵999=1000－1＝103－1，9999＝104－1，∴ ＝10n-1
＝ ， ＝ ， ＝
4 解答有关十进制数的问题，常遇到所列方程，少于未知数的个数，这时需要根据各位上的数字都是表示0到9的整数，这一性质进行讨论。
乙例题
例1. 一个六位数的最高位是1，若把1移作个位数，其余各数的大小和顺序都不变，则所得的新六位数恰好是原数的3倍，求原六位数。
解：设原六位数1右边的五位数为x,那么原六位数可记作1×105＋x ，新六位数为10x＋1，
根据题意，得 10x＋1＝3（1×105＋x） 7x=299999 x=42857
∴原六位数是142857
例2. 设n为正整数，计算 × ＋1
解：原数＝（10 n –1）×（10 n –1）+1×10n+10n－1
＝102n－2×10n+1+10n+10n－1
＝102n
例3. 试证明12，1122，111222，……， 这些数都是两个相邻的正整数的积
初中数学竞赛辅导资料(28)
三角形的边角性质
甲内容提要
三角形边角性质主要的有：
1. 边与边的关系是：任意两边和大于第三边，任意两边差小于第三边，反过来要使三条线段能组成一个三角形，必须任意两条线段的和都大于第三条线段，即最长边必须小于其他两边和。用式子表示如下：
a,b,c是△ABC的边长
推广到任意多边形：任意一边都小于其他各边的和
2. 角与角的关系是：三角形三个内角和等于180 ；任意一个外角等于和它不相邻的两个内角和。
推广到任意多边形：四边形内角和=2×180 ， 五边形内角和=3×180
六边形内角和=4×180 n边形内角和=(n－2) 180
3. 边与角的关系
① 在一个三角形中，等边对等角，等角对等边；
大边对大角，大角对大边。
② 在直角三角形中，
△ABC中∠C=Rt∠ (勾股定理及逆定理)
△ABC中 a：b：c=1： ：2
△ABC中 a：b：c=1：1：
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