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　　初中数学竞赛辅导专题（三）
　　初中数学竞赛中最值问题求法应用举例
　　最值问题是数学竞赛中考试的重要内容之一，任何一级、任何一年的竞考都是必考内容。现根据我在辅导学生过程中的体会归纳整理如下：
　　根据非负数的性质求最值。
　　若M =（X±a）2 +b ，则当X±a = 0时M有最小值b 。
　　若M = －（X±a）2 + b ,则当X±a = 0 时M有最大值b 。
　　用（a±b）2≥0 ，∣a∣≥0,≥0的方法解题。
　　【说明：这里用到的很重要的思想方法是配方法和整体代换思想。】
　　例题（1）、若实数a ，b ，c 满足a2 + b2 + c2 = 9，则代数式 （a － b）2  + （b —c）2  +（c － a）2的最大值是 （      ）
　　A．27      B、  18     C、15     D、  12 
　　解：(a－b)2+(b－c)2+(c－a)2= 2(a2+b2+c2)－2ab－2bc－2ca = 3(a2+b2+c2)－a2－b2－c2－2ab－2bc－2ca = 3(a2+b2+c2)－(a2+b2+c2＋2ab＋2bc＋2ca) =3(a2+b2+c2)－(a+b+c)2 = 27－(a+b+c)2 ≤ 27 .    ∵a2+b2+c2 = 9 ,         ∴ a,b,c 不全为0 。当且仅当a + b + c = 0 时原式的最大值为 27 。
　　【说明，本例的关键是划线部份的变换，采用加减(a2＋b2＋c2)后用完全平方式。】
　　例题（2）、如果对于不小于8的自然数N ，当3N+1是一个完全平方数时，N + 1都能表示成K个完全平方数的和，那么K的最小值是 （     ）
　　A、  1   B、  2    C、  3     D、  4  
　　解：设 ∵ 3N+1是完全平方数，∴ 设 3N+1 = X2 （N≥ 8），则3不能整除X，所以X可以表示成3P±1的形式。3N＋1=（3P±1）2= 9P2±6P+1=3X2±2X+1=X2+X2+（X±1）2。即3N+1能够表示成三个完全平方数的和。所以K的最小值为 3 。选 C 。
　　【说明，本例的关键是如何把3X2拆成X2＋X2＋X2，然后配方求解。】
　　例题（3）、设a、b为实数，那么a2＋ab＋b2－a－2b的最小值是——————————。
　　解：a2＋ab＋b2－a－2b = a2＋(b－1)a＋b2－2b = a2＋(b－1)a＋()2＋b2－b－ =(a＋)2＋(b－1)2－1 ≥ －1 。只有当a＋= 0且b－1= 0 时，即a=0，b=1时取等号。所以原式的最小值是－1。
　　【注意：做这一类题的关键是先按一个字母降幂排列，然后配方。】
　　例题（4）、已知实数a、b满足a2＋ab＋b2=1 ，则a2－ab＋b2的最小值和最大值的和是———————— 。
　　解：设a2－ab＋b2 = K,与a2＋ab＋b2 =1联立方程组,解得：a2＋b2 = (1＋K),ab = (1－K)。
　　∵(a＋b)2≥0,  ∴a2＋b2＋2ab=(1＋K)＋2×(1－K)≥0,    ∴K≤3 .    ∵(a－b)2≥0,   ∴a2＋b2－2ab = (1＋K)－2×(1－K)≥0,  ∴K≥ . 得   ≤K≤3 。 所以 a2－ab＋b2的最小值是  ，最大值是3 ，这两个值的和是3 。
　　【本题的关键在于直接运用（a±b）2≥0 】
　　例题5、若a、b满足3＋5∣b∣= 7 ，则S = 2－3∣b∣的最大值为-------------------  ，最小值为--------------------  。
　　解：联立3 ＋5|b| = 7和S = 2－3|b|两式，解得19= 21＋5S，19|b|=14－3S 。∵ 19≥0,∴21＋5S≥0,S≥－ 。 ∵19∣b∣≥0,∴14－3S≥0 , ∴S ≤ , 得 －≤S≤ 。所以S的最大值为 ，最小值为－ 。
　　【说明：这里直接运用了∣a∣≥0和≥0 】
　　（二）、直接运用a2＋b2 ≥ 2ab ( a＋b≥ 2 )性质求最值。
　　例题（6）、若X > 0，则函数Y = ＋＋的最小值。
　　解：原式 = ＋＋ = ＋＋＋ ≥2＋2  = 2＋2 = 4 。所以原式的最小值是 4 。
　　【说明：这个公式的来源是由(a－b)2≥0直接推出的。】
　　例题（7）、已知 a、b、c、d均为实数，且a＋b＋c＋d = 4 ，a2＋b2＋c2＋d2 = ，求a的最小值与最大值。
　　解：∵a＋b＋c＋d = 4 ,          ∴b＋c＋d = 4- a ,                  ∴ (b＋c＋d)2 = b2＋c2＋d2＋2bc＋2cd＋2bd ≤b2＋c2＋d2＋(b2＋c2)＋(c2+d2)+(d2+b2)=3(b2+c2+d2)                                                ∵b＋c＋d = 4－a, ∴(b＋c＋d)2 = (4－a)2 .                            ∵ a2＋b2＋c2＋d2 = ,          ∴b2＋c2＋d2 = －a2 。
　　∴ （4－a）2≤ 3×(－a2)  ,化简得 a(a－2)≤ 0  ,解得0≤ a ≤2 。
　　∴ a的最小值是0 ，a的最大值是2 。