九年级数学竞赛专题讲座——二次函数的图象与性质教案
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九年级数学竞赛专题讲座——二次函数的图象与性质
一、内容概述
二次函数有丰富的内容,下面从四个方面加以总结
1.定义:
形如函数 称为二次函数,对实际问题二次函数也有定义域.
2.图像
二次函数的图像为抛物线,一般作二次函数图像,取五个点,先确定顶点的横坐标,再以它为中心向左、向右对称取点.
3.性质
对 的图像来讲,
(1)开口方向:当 时,抛物线开口向上;当 时,抛物线开口向下。
(2)对称轴方程:
(3)顶点坐标:
(4)抛物线与坐标轴的交点情况:
若 ,则抛物线与 轴没有交点;若 ,则抛物线与 轴有一个交点;
若 ,则抛物线与 轴有两个交点,分别为 , ;
另外,抛物线与 轴的交点为 .
(5)抛物线在 轴上截出的距离为:
(6) 与 的增减关系:
当 , 时, 随 的增大而增大, 时, 随 的增大而减小;
当 , 时, 随 的增大而减小, 时, 随 的增大而增大.
(7)最值:
当 时, 有最小值,当 时, ;
当 时, 有最大值,当 时,
(8)若抛物线与 轴两交点的横坐标为 、 ( ),则:
当 时, 时, ; 时, ;
当 时, 时, ; 时, .
4.求解析式
抛物线的解析式常用的有三种形式:
(1)一般式:
(2)顶点式: ,其中 是抛物线的顶点坐标。
(3)交点式: ,交点式只在抛物线与 轴有交点时才用到,式中 、 是抛物线与 轴交点的横坐标。
解题时,视情况和需要,一般选用这三种形式中的一种或两种就可以了。
二、例题解析
例1 设抛物线为 ,根据下列各条件,求 的值。
(1)抛物线的顶点在 轴上;
(2)抛物线的顶点在 轴上;
(3)抛物线的顶点 ;
(4)抛物线经过原点;
(5)当 时, 有最小值;
(6) 的最小值为 .
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