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　　九年级数学竞赛专题讲座——二次函数的图象与性质
　　一、内容概述
　　二次函数有丰富的内容，下面从四个方面加以总结
　　1．定义：
　　形如函数 称为二次函数，对实际问题二次函数也有定义域.
　　2．图像
　　二次函数的图像为抛物线，一般作二次函数图像，取五个点，先确定顶点的横坐标，再以它为中心向左、向右对称取点.
　　3．性质
　　对 的图像来讲，
　　（1）开口方向：当 时，抛物线开口向上；当 时，抛物线开口向下。
　　（2）对称轴方程：
　　（3）顶点坐标：
　　（4）抛物线与坐标轴的交点情况：
　　若 ，则抛物线与 轴没有交点；若 ，则抛物线与 轴有一个交点；
　　若 ，则抛物线与 轴有两个交点，分别为 ， ；
　　另外，抛物线与 轴的交点为 .
　　（5）抛物线在 轴上截出的距离为：
　　（6） 与 的增减关系：
　　当 ， 时， 随 的增大而增大， 时， 随 的增大而减小；
　　当 ， 时， 随 的增大而减小， 时， 随 的增大而增大.
　　（7）最值：
　　当 时， 有最小值，当 时， ；
　　当 时， 有最大值，当 时，
　　（8）若抛物线与 轴两交点的横坐标为 、 （ ），则：
　　当 时， 时， ； 时， ；
　　当 时， 时， ； 时， .
　　4．求解析式
　　抛物线的解析式常用的有三种形式：
　　（1）一般式：
　　（2）顶点式： ，其中 是抛物线的顶点坐标。
　　（3）交点式： ，交点式只在抛物线与 轴有交点时才用到，式中 、 是抛物线与 轴交点的横坐标。
　　解题时，视情况和需要，一般选用这三种形式中的一种或两种就可以了。
　　二、例题解析
　　例1  设抛物线为 ，根据下列各条件，求 的值。
　　（1）抛物线的顶点在 轴上；
　　（2）抛物线的顶点在 轴上；
　　（3）抛物线的顶点 ；
　　（4）抛物线经过原点；
　　（5）当 时， 有最小值；
　　（6） 的最小值为 .