《平面向量及其运算》复习教案
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约2710字。
§8.1平面向量及其运算
一、知识导学
1.模(长度):向量 的大小,记作| |。长度为0的向量称为零向量,长度等于1个单位长度的向量,叫做单位向量。
2.平行向量:方向相同或相反的非零向量叫做平行向量,又叫做共线向量。
3.相等向量:长度相等且方向相同的向量。
4.相反向量:我们把与向量 长度相等,方向相反的向量叫做 的相反向量。记作- 。
5.向量的加法:求两个向量和的运算。
已知 , 。在平面内任取一点,作 = , = ,则向量 叫做 与 的和。记作 + 。
6. 向量的减法:求两个向量差的运算。
已知 , 。在平面内任取一点O,作 = , = ,则向量 叫做 与 的差。记作 - 。
7.实数与向量的积:
(1)定义: 实数λ与向量 的积是一个向量,记作λ ,并规定:
①λ 的长度|λ |=|λ|•| |;
②当λ>0时,λ 的方向与 的方向相同;
当λ<0时,λ 的方向与 的方向相反;
当λ=0时,λ =
(2)实数与向量的积的运算律:设λ、μ为实数,则
①λ(μ )=(λμ)
②(λ+μ) =λ +μ
③λ( + )=λ +λ
8.向量共线的充分条件:向量 与非零向量 共线的充要条件是有且只有一个实数λ,使得 =λ 。
另外,设 =(x1 ,y1), = (x2,y2),则 // x1y2-x2y1=0
9.平面向量基本定理:
如果 、 是同一平面内的两个不共线向量,那么对于这一平面内的任一向量 ,有且只有一对实数λ1、λ2使 =λ1 +λ2 ,其中不共线向量 、 叫做表示这一平面内所有向量的一组基底。
10.定比分点
设P1,P2是直线l上的两点,点P是不同于P1,P2的任意一点则存在一个实数λ,使 =λ ,λ叫做分有向线段所成的比。若点P1、P、P2的坐标分别为(x1,y1),(x,y),(x2,y2),则有
特别当λ=1,即当点P是线段P1P2的中点时,有
11.平面向量的数量积
(1)定义:已知两个非零向量 和 ,它们的夹角为θ,则数量| || |cosθ叫做 与 的数量积(或内积),记作 • ,即 • =| || |cosθ
规定:零向量与任一向量的数量积是0。
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