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　　《不等式的证明》课堂实录
　　一、不等式证明的常用方法和基本不等式  
　　师：前面我们复习了不等式的性质，现在开始复习不等式的证明.下面我们先来看一个问题： 
　　[例1]求证：(a2+b2)(c2+d2)≥(ac+bd)2 
　　如何证明这个不等式呢？我们回忆一下，不等式证明有哪些常用的方法？ 
　　生：比较法、分析法和综合法. 
　　师：什么是比较法？这个不等式能不能用比较法来证明？ 
　　生：要证明a＞b，只要证明a-b＞0，这就是不等式证明的比较法，这个不等式能用比较法证明. 
　　证法一 
　　∵(a2+b2)(c2+d2)-(ac+bd)2 
　　=a2c2+a2d2+b2c2+b2d2-a2c2-2abcd-b2d2 
　　=(bc-ad)2≥0 
　　∴(a2+b2)(c2+d2)≥(ac+bd)2 
　　师：用比较法证明不等式的基本步骤有哪些？ 
　　生：有三步：(1)作差　(2)变形　(3)确定符号 
　　师：什么是分析法？这个不等式能不能用分析法来证明？ 
　　生：从求证的不等式出发，分析使这个不等式成立的条件，把证明这个不等式转化为判定这些条件是否具备的问题；如果能够肯定这些条件都已具备，那么就可以断定原不等式成立，这种方法就是不等式证明的分析法.这个不等式能用分析法来证明. 
　　证法二 
　　要证明(a2+b2)(c2+d2)≥(ac+bd)2 
　　只要证明a2c2+b2c2+a2d2+b2d2≥a2c2+2abcd+b2d2 
　　也就是证明b2c2+a2d2≥2abcd 
　　即　　(bc-ad)2≥0 
　　∵(bc-ad)2≥0成立 
　　∴(a2+b2)(c2+d2)≥(ac+bd)2成立 
　　(教师指出应用分析法证明时要注意书写格式) 
　　师：什么是综合法？这个不等式能不能用综合法来证明？ 
　　生：利用某些已经证明过的不等式作为基础，再运用不等式的性质推导出所要证明的不等式，这种方法是不等式证明的综合法，这个不等式能用综合法来证明. 
　　证法三 
　　∵b2c2+a2d2≥2abcd 
　　∴a2c2+b2d2+b2c2+a2d2≥a2c2+2abcd+b2d2 
　　即　　(a2+b2)(c2+d2)≥(ac+bd)2 
　　师：应用综合法证明的关键是找出作为基础的已经证明过的不等式.这些不等式大都是基本不等式，主要有： 
　　a2+b2≥2ab (a、b∈R) 
　　(a、b∈R+) 
　　这里要注意： 
　　(1)不等式成立的条件，字母的允许值范围； 
　　(2)当且仅当a=b时，等号成立.