《方程理论及应用》教案
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约1050字。
方程理论及应用
一. 一元一次同余方程
1. 形式: 不能整除 ………………(1)
2. 讨论 的解
分析:1)
设 是模m的完系,因为 ,所以 也是模m的完系。因此,其中必有且只有一个树与零同余,即 ,即(1)有唯一解。
由(1)得: ,由欧拉定理知: ,所以
2) >1
设(1)有解,则d︱b;反过来,设d︱b,因为 ,所以 ……(2)有解,所以(1)有解。所以,(1)和(2)是等价的。下面求(2)的解即可。但是要注意,(1)和(2)的模不同,所以(2)的相同的解不一定也是(1)的相同的解,下面我们在(2)的所有解中来求(1)的所有不相同的解。
设(2) 的唯一解为: ,则所以形如 (t为任意整数)的数都是(2)的解,因此这些数中所有关于模m不同余的数就是(1)的所有解。
因为当 ……(3)时,有 ,所以 ;反之也成立,所以(3)成立的充要条件是
因此,在所有形如 的数中只要t取关于模d不同余的数,所得到的数就关于模m不同余,所以 就是(1)的所有解。
定理1 一元一次同余方程中,
当 ,有唯一解,
>1, 有解 d︱b, , 其中 是 的唯一解。
定理2 (中国剩余定理)设 两两互质,
则同余方程组 (4)
对于模 有唯一解:
其中: ,
二. 二元一次不定方程。
1. 形式:
2.定理: 有解 ︱c
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