高中数学奥赛教程
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高中数学奥赛教程
集合（一）.doc
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动点轨迹方程的求法.doc
赋值法在函数方程中的应用.doc
函数奥赛竞赛练习.doc
函数通性训练题.doc
几何不等式测试题.doc
竞赛中的三角函数例题选讲.doc
三垂线法作二面角的平面角的技巧.doc
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数论函数.doc
数学竞赛训练题.doc
数学学习中的学法指导.doc
有关函数通性的试题选讲.doc内容综述：
本讲先介绍了以下一些重要的概念：集合、子集、两集合相等、真子集、并集、交集、相对补集，然后介绍了著名的容斥原理，接着介绍了以下几个定律：零律、分配律、排中律、吸收律、补交转换律、德•摩根律。
然后通过6道例题分析了一部分集合题目的解题方法与技巧，同学们应在熟悉以上定义、定理、定律的基础上仔细分析例题材解法，争取可以独立解决训练题。
要点讲解：
§1．基本理论
除了课内知识外，我们补充以下知识
相对补集：称属于A而不属于B的全体元素，组成的集合为B对A的相对补集或差集，记作A-B。
容斥原理：以 表示集合A中元素的数目，我们有
，其中 为n个集合 称为A的阶。
n阶集合的全部子集数目为 。
A，B，C为三个集合，就有下面的定律。
赋值法是指给定的关于某些变量的一般关系式，赋予恰当的数值或代数式后，通过运算推理，最后得出结论的一种解题方法。下面介绍它在函数方程中的应用。
一、判断函数的奇偶性
例1 若 （x＋y）＝ （x）＋ （y）中令x＝y＝0，得 （0）＝0。
又在 （x＋y）＝ （x）＋ （y）令y＝－x， （x－x）＝ （x）＋ （－x），
即 （0）＝ （x）＋ （－x），又 （0）＝0.
所以 （－x）＝－ （x）。
由于 （x）不恒为零，所以 （x）是奇函数。
例2 已知函数y＝ （x）（x∈R，x≠0），对任意非零实数x1x2都有 （x1x2）＝ （x1）＋ （x2），试判断 （x）的奇偶性。
解：取x1＝－1，x2＝1得
（－1）= （－1）＋（1），所以 （1）=0
又取x1=x2=－1，
得 （1）= （－1）＋ （－1），
所以 （－1）=0
再取x1=x，x2=－1，则有 （－x）= （x），即 （－x）= （x）
因为 （x）为非零函数，所以 （x）为偶函数。
例3．对任意x、y∈R，有（x＋y）＋ （x－y）=2 （x）• （y），且 （0）≠0，判断 （x）的奇偶性。
解：令x=y=0得 （0）＋ （0）=2 2（0），因为 （0）≠0，所以 （0）=1，又令x=0得 （y）＋ （－y）=2 （y），即 （－y）= （y）。取x=y，得 （－x）= （y）.所以函数y= （x）。
【内容综述】
一．三角函数的性质
1．正，余弦函数的有界性
对任意角 ， ，
2．奇偶性与图象的对称性
正弦函数，正切函数和余切函数都是奇函数，它们的图象关于原点对称，并且y=sinx的图象还关于直线 对称：余弦函数是偶函数，从而y=cosx的图象关于y轴对称，并且其图象还关于直线 对称
3．单调性
y=sinx在 上单调递增，在 上单调递减：y=cosx在 上单调递增，在 上单调递减；y=tanx在 上都是单调递增的；y=cotx在 上都是单调递减的。
4．周期性
y=sinx与y=cosx的最小正周期是2π，y=tanx与y=cosxr 的最小正周期是π。
【例题分析】
例1 已知圆 至少覆盖函数 的一个最大值点与一个最小值点，求实数k的取值范围。
解 因为 是一个奇函数，其图象关于原点对称，而圆 也关于原点对称，所以，图 只需覆盖 的一个最值点即可。
令 ，可解得 的图象上距原点最近的一个最大值点 ，依题意，此点到原点的距离不超过|k|，即
一．选择题（以下每题的四个选择支中，仅有一个是正确的）
1．－7的绝对值是（ ）
（A）－7 （B）7 （C）－ （D）
2．1999－ 的值等于（ ）
（A）－2001 （B）1997 （C）2001 （D）1999
3．下面有4个命题：
①存在并且只存在一个正整数和它的相反数相同。
②存在并且只存在一个有理数和它的相反数相同。
③存在并且只存在一个正整数和它的倒数相同。
④存在并且只存在一个有理数和它的倒数相同。
其中正确的命题是：（ ）
（A）①和② （B）②和③
（C）③和④ （D）④和①
4.4ab c 的同类项是（ ）
（A）4bc a （B）4ca b （C） ac b （D） ac b
5．某工厂七月份生产某产品的产量比六月份减少了20％，若八月份产品要达到六月份的产量，则八月份的产量比七月份要增加（ ）
（A）20％ （B）25％ （C）80％ （D）75％
6． ， ， ， 四个数中，与 的差的绝对值最小的数是（ ）
（A） （B） （C） （D）
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