2012年江苏省数学竞赛《提优教程》教案（1-16讲）
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2012年江苏省数学竞赛《提优教程》教案（1-16讲）
2012江苏省数学竞赛《提优教程》教案：第01讲 二次函数的图象和性质.doc
2012江苏省数学竞赛《提优教程》教案：第10讲_覆盖.doc
2012江苏省数学竞赛《提优教程》教案：第11讲_三角问题选讲.doc
2012江苏省数学竞赛《提优教程》教案：第12讲_组合几何(新).doc
2012江苏省数学竞赛《提优教程》教案：第13讲_不等式证明选讲.doc
2012江苏省数学竞赛《提优教程》教案：第14讲平几问题选讲.doc
2012江苏省数学竞赛《提优教程》教案：第15讲_存在性问题(新).doc
2012江苏省数学竞赛《提优教程》教案：第16讲__数论选讲.doc
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2012江苏省数学竞赛《提优教程》教案：第3讲_极限和导数.doc
2012江苏省数学竞赛《提优教程》教案：第4讲__解析几何问题选讲.doc
2012江苏省数学竞赛《提优教程》教案：第5讲_几何不等式.doc
2012江苏省数学竞赛《提优教程》教案：第6讲__函数问题选讲(最终).doc
2012江苏省数学竞赛《提优教程》教案：第7讲_图论问题(一).doc
2012江苏省数学竞赛《提优教程》教案：第8讲_图论问题(二).doc
2012江苏省数学竞赛《提优教程》教案：第9讲_无限递降与逐次调整.doc
第1讲 二次函数的图象和性质
本讲内容包括二次函数的图象和性质，二次函数在给定区间上的最值。
二次函数 是具有典型意义的初等函数，它的图象是以垂直于 轴的直线 为对称轴的抛物线。其中，二次项系数 决定了抛物线的形状（ 的符号和| |的大小分别确定抛物线的开口方向和开口大小）；常数 是抛物线在 轴上的截距（抛物线与 轴的交点的纵坐标）；一次项系数 与图象的左右平移有关。
二次函数 中，当 时，若 ，即 ，则函数值 随着自变量 的增加而减少；若 ，即 ，则函数值 随着自变量 的增加而增加；当 时，若 ，即 ，则函数值 随着自变量 的增加而增加；若 ，即 ，则函数值 随着自变量 的增加而减少。当 时，二次函数取最小值 （ ）或最大值 （ ）。其中，
为叙述方便，我们用符号 表示 的函数。 表示 时，函数 的值。如 ，则
A类例题
第5讲 几何不等式
本讲只要内容是几何不等式:
A类例题
例1已知D是△ABC的边AB上的任意一点,E是边AC上的任意一点,连接DE,F是连接线段DE上的任意一点.设ADAB = x, AEAC = y, DFDE = z, 证明:
(1) S△BDF=(1–x)yzS△ABC, S△CEF= x(1–y)(1–z)S△ABC;
(2) 3S△BDF +3S△BDF≤3S△ABC.(2003年女子数学奥林匹克试题)
证明 (1) 如图,有
S△BDF= z S△BDE=z(1–x) S△ABD= z(1–x)yS△ABC,
S△CEF=(1–z)S△CDE=(1–z)(1–y)S△ACD=(1–z)(1–y) xS△ABC.
(2) 3S△BDF +3S△BDF=(3(1–x)yz + 3x(1–y)(1–z))3S△ABC
≤((1–x)+y+z3 + x+(1–y)+(1–z)3)3S△ABC
=3S△ABC .
例2如图，在△ABC中,P,Q,R将其周长三等分，且P,Q在AB边上，求证：
(1988年全国高中数学联赛第二试试题)
证明 从C,R向AB引垂线，用放缩法证明所需不等式.
不妨设周长为1，作△ABC、△PQR的高CL、RH.
情景再现
1. 已知D是面积为1的△ABC的边AB上的任意一点,E是边AC上任意一点,连接DE, F是线段DE上的任意一点，设ADAB = x, AEAC = y, DFDE = z,且 y+zx= １2.
试求△BDF面积的最大值．(2005年湖南省数学竞赛试题)
第10讲 覆盖
本节主要内容是图形覆盖与嵌入．
一、图形覆盖的定义：
平面闭图形指的是由平面上一条简单闭曲线及其围成的平面部分组成的图形．所谓简单闭曲线，就是自身不相交的封闭曲线．它作为图形的边界，而它围成的平面部分(不包括闭曲线本身)称为平面图形的内部．
定义1 设M和N是两个平面图形，若M⊃N或M经过运动变成M'，而M'⊃N，则称图形M可以覆盖图形N，或N能被M覆盖，也说N嵌入M．
设M1，M2，…，Mn是一组平面图形，若M1⋃M2⋃…⋃Mn⊃N，或M1，M2，…，Mn 各自经过运动(施于每一个图形的运动不一定相同)分别变为M1'，M2'，…，Mn'，而M1'⋃M2'⋃…⋃Mn'⊃N，则称图形M1，M2，…，Mn可以覆盖图形N，或N能被M1，M2，…，Mn覆盖．
二、图形覆盖的性质：覆盖的下述性质是十分明显的：
⑴ 图形G覆盖自身；
⑵ 图形G覆盖图形E，图形E覆盖图形F，则图形G覆盖图形F．
⑶ 如果一条线段的两个端点都在一个凸图形内部，则此线段被此凸图形覆盖．
推论：一个凸图形如果盖住了一个凸多边形的所有顶点，则此凸多边形被此凸图形覆盖．
定义2设F是一个平面闭图形，我们称F的任意两点之间的距离的最大值为M的直径，记为d(F)，即d(F)＝max{|AB|，A，B∈F}．
三、关于覆盖的三条原则：覆盖的以下三个原则是常用的：
原则1 若图形F的面积大于图形G的面积，则图形G不能覆盖图形F；
原则2 直径为d的图形Ｆ不能被直径小于d的图形G所覆盖．
原则3 (重叠原理) n个平面图形的面积分别为S1，S2，…，Sn，若它们被一个面积为A的平面图形完全覆盖，又A<S1+S2+…+Sn，则此n个图形中至少有两个图形发生重叠．
这三个原则十分显然，不再证明．
四、用圆盘覆盖图形：
圆盘：圆及圆内部分构成圆盘．
定理1 如果能在图形Ｆ所在平面上找到一点O，使得图形Ｆ中的每一点与O的距离都不大于定长r，则Ｆ可被一半径为r的圆盘所覆盖
第15讲 存在性问题
本节主要内容是存在性问题.
存在性问题有三种：
第一类是肯定性问题, 其模式为“已知A, 证明存在对象B, 使其具有某种性质”.
第二类是否定性问题, 其模式为“已知A, 证明具有某种性质B的对象不可能存在”.
第三类是探索性问题, 其模式为“已知A, 问是否存在具有某种性质B的对象”.
解决存在性问题通常有两种解题思路. 一种思路是通过正确的逻辑推理(包括直接计算), 证明(或求出)符合条件或要求的对象B必然存在. 常利用反证法、数学归纳法、抽屉原则、计数法等. 另一种思路是构造法. 直接构造具有某种性质B的对象. 常常采用排序原则、极端性原则进行构造.
A类例题
例1 已知函数f(x)=|11x|.
(1)是否存在实数a,b(a<b), 使得函数的定义域和值域都是[a,b]?若存在,请求出a,b的值；若不存在，请说明理由。
(2)若存在实数a,b(a<b), 使得函数的定义域是[a,b]，值域是[ma,mb](m≠0)，求实数m的取值范围.(2005年天津市数学竞赛试题)
分析 函数f(x)是分段函数，它的值域是 [a,b]是 的子集，而f(0)＞0，所以a＞0，因为函数f(x)在(0,1)上是减函数，在(1,+∞)上是增函数，所以我们分三种情况(i) 当a,b∈(0,1)时；(ii) 当 a,b∈(1,+∞)时；(iii)当a∈(0,1),b∈ 1,+∞)时加以讨论.
解 (1)不存在实数a,b(a<b)满足条件.
事实上，若存在实数a,b(a<b), 使得函数的定义域和值域都是[a,b]，则有x≥a＞0.故
f(x)=
(i)当a,b∈(0,1)时, f(x)= 1x1在(0,1)上是减函数，所以，
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