约2890字 第五章  数列
　　一、基础知识
　　定义1  数列，按顺序给出的一列数，例如1，2，3，…，n，…. 数列分有穷数列和无穷数列两种，数列{an}的一般形式通常记作a1, a2, a3,…，an或a1, a2, a3,…，an…。其中a1叫做数列的首项，an是关于n的具体表达式，称为数列的通项。
　　定理1  若Sn表示{an}的前n项和，则S1=a1, 当n>1时，an=Sn-Sn-1. 
　　定义2  等差数列，如果对任意的正整数n，都有an+1-an=d（常数），则{an}称为等差数列，d叫做公差。若三个数a, b, c成等差数列，即2b=a+c，则称b为a和c的等差中项，若公差为d, 则a=b-d, c=b+d.
　　定理2  等差数列的性质：1）通项公式an=a1+(n-1)d；2）前n项和公式：Sn= ；3）an-am=(n-m)d，其中n, m为正整数；4）若n+m=p+q，则an+am=ap+a¬q；5）对任意正整数p, q，恒有ap-aq=(p-q)(a2-a1)；6）若A，B至少有一个不为零，则{an}是等差数列的充要条件是Sn=An2+Bn.
　　定义3  等比数列，若对任意的正整数n，都有 ，则{an}称为等比数列，q叫做公比。
　　定理3  等比数列的性质：1）an=a1qn-1；2）前n项和Sn，当q 1时，Sn= ；当q=1时，Sn=na1；3）如果a, b, c成等比数列，即b2=ac(b 0)，则b叫做a, c的等比中项；4）若m+n=p+q，则aman=apaq。
　　定义4  极限，给定数列{an}和实数A，若对任意的 >0，存在M，对任意的n>M(n∈N),都有|an-A|< ，则称A为n→+∞时数列{an}的极限，记作 
　　定义5  无穷递缩等比数列，若等比数列{an}的公比q满足|q|<1，则称之为无穷递增等比数列，其前n项和Sn的极限（即其所有项的和）为 （由极限的定义可得）。
　　定理3  第一数学归纳法：给定命题p(n)，若：（1）p(n0)成立；（2）当p(n)时n=k成立时能推出p(n)对n=k+1成立，则由（1），（2）可得命题p(n)对一切自然数n≥n0成立。
　　竞赛常用定理
　　定理4  第二数学归纳法：给定命题p(n)，若：（1）p(n0)成立；（2）当p(n)对一切n≤k的自然数n都成立时（k≥n0）可推出p(k+1)成立，则由（1），（2）可得命题p(n)对一切自然数n≥n0成立。
　　定理5  对于齐次二阶线性递归数列xn=axn-1+bxn-2，设它的特征方程x2=ax+b的两个根为α,β:(1)若α β，则xn=c1an-1+c2βn-1，其中c1, c2由初始条件x1, x2的值确定；(2)若α=β，则xn=(c1n+c2) αn-1，其中c1, c2的值由x1, x2的值确定。
　　二、方法与例题
　　1．不完全归纳法。
　　这种方法是从特殊情况出发去总结更一般的规律，当然结论未必都是正确的，但却是人类探索未知世界的普遍方式。通常解题方式为：特殊→猜想→数学归纳法证明。
　　例1  试给出以下几个数列的通项（不要求证明）；1）0，3，8，15，24，35，…；2）1，5，19，65，…；3）-1，0，3，8，15，…。