高中数学竞赛讲义（二次函数等共8份）
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高中数学竞赛讲义
01【数学】高中数学竞赛讲义-二次函数（1）.doc
03【数学】高中数学竞赛讲义-二次函数（2）.doc
05【数学】高中数学竞赛讲义-函数的基本性质.doc
07【数学】高中数学竞赛讲义-函数方程.doc
08【数学】高中数学竞赛讲义-三角恒等式与三角不等式.doc
10【数学】高中数学竞赛讲义-数列.doc
12【数学】高中数学竞赛讲义-向量与向量方法.doc
14【数学】高中数学竞赛讲义-指、对数函数、幂函数.doc
~$【数学】高中数学竞赛讲义-二次函数（1）.doc
§5二次函数(1)
二次函数是最简单的非线性函数之一，而且有着丰富内涵。在中学数学数材中，对二次函数和二次方程，二次三项式及二次不等式以及它们的基本性质，都有深入和反复的讨论与练习。它对近代数学，乃至现代数学，影响深远，为历年来高考数学考试的一项重点考查内容，历久不衰，以它为核心内容的重点试题，也年年有所变化，不仅如此，在全国及各地的高中数学竞赛中，有关二次函数的内容也是非常重要的命题对象。因此，必须透彻熟练地掌握二次函数的基本性质。
学习二次函数的关键是抓住顶点（-b/2a，(4ac-b2)/4a），顶点的由来体现了配方法（y=ax2+bx+c=a(x+b/2a)2+(4ac-b2)/4a）；图象的平移归结为顶点的平移（y=ax2→y=a(x-h)2+k）；函数的对称性（对称轴x=-b/2a，f (-b/2a+x)=f (-b/2a-x)，x∈R），单调区间（-∞，-b/2a），[-b/2a,+∞]、极值（(4ac-b2)/4a），判别式（Δb2-4ac）与X轴的位置关系（相交、相切、相离）等，全都与顶点有关。
一、“四个二次型”概述
（一元）二次函数
y=ax2+bx+c (a≠0) → a=0 → （一元）一次函数
y=bx+c(b≠0)
↑ ↑
↑ ↑
（一元）二次三项式
ax2+bx+c(a≠0) → a=0 → 一次二项式
bx+c(b≠0)
↓ ↓ ↓ ↓
↓ ↓ ↓ ↓
↓ 一元二次方程
ax2+bx+c=0(a≠0) → a=0 → 一元一次方程
bx+c=0(b≠0) ↓
↓ ↓
一元二次不等式
ax2+bx+c>0或
ax2+bx+c<0(a≠0) → a=0 → 一元一次不等式
bx+c>0或
bx+c<0(b≠0)
观察这个框图，就会发现：在a≠0的条件下，从二次三项式出发，就可派生出一元二次函数，一元二次方程和一元二次不等式来。故将它们合称为“四个二次型”。其中二次三项式ax2+bx+c(a≠0)像一颗心脏一样，支配着整个“四个二次型”的运动脉络。而二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)，犹如“四个二次型”的首脑或统帅：它的定义域即自变量X的取值范围是全体实数，即n∈R；它的解析式f(x)即是二次三项式ax2+bx+c(a≠0)；若y=0，即ax2+bx+c=0（a≠0），就是初中重点研究的一元二次方程；若y>0或y<0，即ax2+bx+c>0或ax2+bx+c<0（a≠0），就是高中一年级重点研究的一元二次不等式，它总揽全局，是“四个二次型”的灵魂。讨论零值的一元二次函数即一元二次方程是研究“四个二次型”的关键所在，它直接影响着两大主干：一元二次方程和一元二次不等式的求解。一元二次方程的根可看作二次函数的零点；一元二次不等式的解集可看作二次函数的正、负值区间。心脏、头脑、关键、主干、一句话，“四个二次型”联系密切，把握它们的相互联系、相互转化、相互利用，便于寻求规律，灵活运用，使学习事半功倍。§9三角恒等式与三角不等式
三角恒等变形，既要遵循代数式恒等变形的一般法则，又有三角所特有的规律.
三角恒等式包括绝对恒等式和条件恒等式两类。证明三角恒等式时，首先要观察已知与求证或所证恒等式等号两边三角式的繁简程度，以决定恒等变形的方向；其次要观察已知与求证或所证恒等式等号两边三角式的角、函数名称、次数以及结构的差别与联系，抓住其主要差异，选择恰当的公式对其进行恒等变形，从而逐步消除差异，统一形式，完成证明.“和差化积”、“积化和差”、“切割化弦”、“降次”等是我们常用的变形技巧。当然有时也可以利用万能公式“弦化切割”，将题目转化为一个关于 的代数恒等式的证明问题.
要快捷地完成三角恒等式的证明，必须选择恰当的三角公式. 为此，同学们要熟练掌握各公式及各公式的来龙去脉和变形形式.
上图为三角公式脉络图，由图可见两角和差的三角函数的公式是所有三角公式的核心和基础.
此外，三角是代数与几何联系的“桥梁”，与复数也有紧密的联系，因而许多三角问题往往可以从几何或复数角度获得巧妙的解法.
三角不等式首先是不等式，因此，要掌握证明不等式的常用方法：配方法、比较法、放缩法、基本不等式法、数学归纳法等. 其次，三角不等式又有自己的特点——含有三角式，因而三角函数的单调性、有界性以及图象特征等都是处理三角不等式的锐利武器.
三角形中有关问题也是数学竞赛和高考的常见题型. 解决这类问题，要充分利用好三角形内角和等于180°这一结论及其变形形式. 如果问题中同时涉及边和角，则应尽量利用正弦定理、余弦定理、面积公式等进行转化，实现边角统一. 求三角形面积的海伦公式
，大家往往不甚熟悉，但十分有用.
例题讲解
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