《高中数学竞赛教案讲义(14)——极限与导数》教案

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  约2410字 第十四章  极限与导数
  一、 基础知识
  1.极限定义:(1)若数列{un}满足,对任意给定的正数ε,总存在正数m,当n>m且n∈N时,恒有|un-A|<ε成立(A为常数),则称A为数列un当n趋向于无穷大时的极限,记为 ,另外 =A表示x大于x0且趋向于x0时f(x)极限为A,称右极限。类似地 表示x小于x0且趋向于x0时f(x)的左极限。
  2   极限的四则运算:如果 f(x)=a,  g(x)=b,那么 [f(x)±g(x)]=a±b,  [f(x)•g(x)]=ab,   
  3.连续:如果函数f(x)在x=x0处有定义,且 f(x)存在,并且 f(x)=f(x0),则称f(x)在x=x0处连续。
  4.最大值最小值定理:如果f(x)是闭区间[a,b]上的连续函数,那么f(x)在[a,b]上有最大值和最小值。
  5.导数:若函数f(x)在x0附近有定义,当自变量x在x0处取得一个增量Δx时(Δx充分小),因变量y也随之取得增量Δy(Δy=f(x0+Δx)-f(x0)).若 存在,则称f(x)在x0处可导,此极限值称为f(x)在点x0处的导数(或变化率),记作 (x0)或 或 ,即 。由定义知f(x)在点x0连续是f(x)在x0可导的必要条件。若f(x)在区间I上有定义,且在每一点可导,则称它在此敬意上可导。导数的几何意义是:f(x)在点x0处导数 (x0)等于曲线y=f(x)在点P(x0,f(x0))处切线的斜率。
  6.几个常用函数的导数:(1) =0(c为常数);(2) (a为任意常数);(3) (4) ;(5) ;(6) ;(7)  ;(8) 
  7.导数的运算法则:若u(x),v(x)在x处可导,且u(x)≠0,则
  (1) ;(2) ;(3) (c为常数);(4) ;(5) 。
  8.复合函数求导法:设函数y=f(u),u= (x),已知 (x)在x处可导,f(u)在对应的点u(u= (x))处可导,则复合函数y=f[ (x)]在点x处可导,且(f[ (x)] = .
  9.导数与函数的性质:(1)若f(x)在区间I上可导,则f(x)在I上连续;(2)若对一切x∈(a,b)有 ,则f(x)在(a,b)单调递增;(3)若对一切x∈(a,b)有 ,则f(x)在(a,b)单调递减。
  10.极值的必要条件:若函数f(x)在x0处可导,且在x0处取得极值,则 
  11.极值的第一充分条件:设f(x)在x0处连续,在x0邻域(x0-δ,x0+δ)内可导,(1)若当x∈(x-δ,x0)时 ,当x∈(x0,x0+δ)时 ,则f(x)在x0处取得极小值;(2)若当x∈(x0-δ,x0)时 ,当x∈(x0,x0+δ)时 ,则f(x)在x0处取得极大值。
  12.极值的第二充分条件:设f(x)在x0的某领域(x0-δ,x0+δ)内一阶可导,在x=x0处二阶可导,且 。(1)若 ,则f(x)在x0处取得极小值;(2)若 ,则f(x)在x0处取得极大值。
  13.罗尔中值定理:若函数f(x)在[a,b]上连续,在(a,b)上可导,且f(a)=f(b),则存在ξ∈(a,b),使 
  [证明]  若当x∈(a,b),f(x)≡f(a),则对任意x∈(a,b), .若当x∈(a,b)时,f(x)≠f(a),因为f(x)在[a,b]上连续,所以f(x)在[a,b]上有最大值和最小值,必有一个不等于f(a),不妨设最大值m>f(a)且f(,则c∈(a,b),且f(c)为最大值,故 ,综上得证。
  14.Lagrange中值定理:若f(x)在[a,b]上连续,在(a,b)上可导,则存在ξ∈(a,b),使 
  [证明]  令F(x)=f(x)- ,则F(x)在[a,b]上连续,在(a,b)上可导,且F(a)=F(b),所以由13知存在ξ∈(a,b)使 =0,即 
  15.曲线凸性的充分条件:设函数f(x)在开区间I内具有二阶导数,(1)如果对任意x∈I, ,则曲线y=f(x)在I内是下凸的;(2)如果对任意x∈I, ,则y=f(x)在I内是上凸的。通常称上凸函数为凸函数,下凸函数为凹函数。
  16.琴生不等式:设α1,α2,…,αn∈R+,α1+α2+…+αn=1。(1)若f(x)是[a,b]上的凸函数,则x1,x2,…,xn∈[a,b]有f(a1x1+a2x2+…+anxn)≤a1f(x1)+a2f(x2)+…+anf(xn).
  二、方法与例题
  1.极限的求法。
  例1  求下列极限:(1) ;(2) ;(3)
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