约2410字 第十四章  极限与导数
　　一、 基础知识
　　1．极限定义：（1）若数列{un}满足，对任意给定的正数ε，总存在正数m，当n>m且n∈N时，恒有|un-A|<ε成立（A为常数），则称A为数列un当n趋向于无穷大时的极限，记为 ，另外 =A表示x大于x0且趋向于x0时f(x)极限为A，称右极限。类似地 表示x小于x0且趋向于x0时f(x)的左极限。
　　2   极限的四则运算：如果 f(x)=a,  g(x)=b，那么 [f(x)±g(x)]=a±b,  [f(x)•g(x)]=ab,   
　　3.连续：如果函数f(x)在x=x0处有定义，且 f(x)存在，并且 f(x)=f(x0)，则称f(x)在x=x0处连续。
　　4．最大值最小值定理：如果f(x)是闭区间[a,b]上的连续函数，那么f(x)在[a,b]上有最大值和最小值。
　　5．导数：若函数f(x)在x0附近有定义，当自变量x在x0处取得一个增量Δx时（Δx充分小），因变量y也随之取得增量Δy(Δy=f(x0+Δx)-f(x0)).若 存在，则称f(x)在x0处可导，此极限值称为f(x)在点x0处的导数（或变化率），记作 (x0)或 或 ，即 。由定义知f(x)在点x0连续是f(x)在x0可导的必要条件。若f(x)在区间I上有定义，且在每一点可导，则称它在此敬意上可导。导数的几何意义是：f(x)在点x0处导数 (x0)等于曲线y=f(x)在点P(x0,f(x0))处切线的斜率。
　　6．几个常用函数的导数：（1） =0（c为常数）；（2） （a为任意常数）；（3） (4) ;(5) ;(6) ;（7）  ；（8） 
　　7．导数的运算法则：若u(x),v(x)在x处可导，且u(x)≠0,则
　　（1） ；（2） ；（3） （c为常数）；（4） ；（5） 。
　　8．复合函数求导法：设函数y=f(u),u= (x)，已知 (x)在x处可导，f(u)在对应的点u(u= (x))处可导，则复合函数y=f[ (x)]在点x处可导，且（f[ (x)] = .
　　9.导数与函数的性质：（1）若f(x)在区间I上可导，则f(x)在I上连续；（2）若对一切x∈(a,b)有 ，则f(x)在(a,b)单调递增；（3）若对一切x∈(a,b)有 ，则f(x)在(a,b)单调递减。
　　10．极值的必要条件：若函数f(x)在x0处可导，且在x0处取得极值，则 
　　11.极值的第一充分条件：设f(x)在x0处连续，在x0邻域(x0-δ,x0+δ)内可导，（1）若当x∈(x-δ,x0)时 ，当x∈(x0,x0+δ)时 ，则f(x)在x0处取得极小值；（2）若当x∈(x0-δ，x0)时 ，当x∈(x0,x0+δ)时 ，则f(x)在x0处取得极大值。
　　12．极值的第二充分条件：设f(x)在x0的某领域(x0-δ,x0+δ)内一阶可导，在x=x0处二阶可导，且 。（1）若 ，则f(x)在x0处取得极小值；（2）若 ，则f(x)在x0处取得极大值。
　　13．罗尔中值定理：若函数f(x)在[a,b]上连续，在(a,b)上可导，且f(a)=f(b)，则存在ξ∈(a,b)，使 
　　[证明]  若当x∈(a,b)，f(x)≡f(a)，则对任意x∈(a,b)， .若当x∈(a,b)时，f(x)≠f(a)，因为f(x)在[a,b]上连续，所以f(x)在[a,b]上有最大值和最小值，必有一个不等于f(a)，不妨设最大值m>f(a)且f(，则c∈(a,b)，且f(c)为最大值，故 ，综上得证。
　　14．Lagrange中值定理：若f(x)在[a,b]上连续，在(a,b)上可导，则存在ξ∈(a,b)，使 
　　[证明]  令F(x)=f(x)- ,则F(x)在[a,b]上连续，在(a,b)上可导，且F(a)=F(b)，所以由13知存在ξ∈(a,b)使 =0，即 
　　15．曲线凸性的充分条件：设函数f(x)在开区间I内具有二阶导数，（1）如果对任意x∈I, ,则曲线y=f(x)在I内是下凸的；（2）如果对任意x∈I, ,则y=f(x)在I内是上凸的。通常称上凸函数为凸函数，下凸函数为凹函数。
　　16．琴生不等式：设α1,α2,…,αn∈R+，α1+α2+…+αn=1。（1）若f(x)是[a,b]上的凸函数，则x1,x2,…,xn∈[a,b]有f(a1x1+a2x2+…+anxn)≤a1f(x1)+a2f(x2)+…+anf(xn).
　　二、方法与例题
　　1．极限的求法。
　　例1  求下列极限：（1） ；（2） ；（3）