约3000字 第二章  二次函数与命题
　　一、基础知识
　　1．二次函数：当 0时，y=ax2+bx+c或f(x)=ax2+bx+c称为关于x的二次函数，其对称轴为直线x=- ，另外配方可得f(x)=a(x-x0)2+f(x0)，其中x0=- ，下同。
　　2   二次函数的性质：当a>0时，f(x)的图象开口向上，在区间（-∞，x0]上随自变量x增大函数值减小（简称递减），在[x0, -∞）上随自变量增大函数值增大（简称递增）。当a<0时，情况相反。  
　　3．当a>0时，方程f(x)=0即ax2+bx+c=0…①和不等式ax2+bx+c>0…②及ax2+bx+c<0…③与函数f(x)的关系如下（记△=b2-4ac）。
　　1）当△>0时，方程①有两个不等实根，设x1,x2(x1<x2)，不等式②和不等式③的解集分别是{x|x<x1或x>x2}和{x|x1<x<x2}，二次函数f(x)图象与x轴有两个不同的交点，f(x)还可写成f(x)=a(x-x1)(x-x2).
　　2）当△=0时，方程①有两个相等的实根x1=x2=x0= ,不等式②和不等式③的解集分别是{x|x }和空集 ，f(x)的图象与x轴有唯一公共点。
　　3）当△<0时，方程①无解，不等式②和不等式③的解集分别是R和 .f(x)图象与x轴无公共点。
　　当a<0时，请读者自己分析。
　　4．二次函数的最值：若a>0，当x=x0时，f(x)取最小值f(x0)= ,若a<0，则当x=x0= 时，f(x)取最大值f(x0)= .对于给定区间[m,n]上的二次函数f(x)=ax2+bx+c(a>0)，当x0∈[m, n]时，f(x)在[m, n]上的最小值为f(x0); 当x0<m时。f(x)在[m, n]上的最小值为f(m)；当x0>n时，f(x)在[m, n]上的最小值为f(n)（以上结论由二次函数图象即可得出）。
　　定义1  能判断真假的语句叫命题，如“3>5”是命题，“萝卜好大”不是命题。不含逻辑联结词“或”、“且”、“非”的命题叫做简单命题，由简单命题与逻辑联结词构成的命题由复合命题。
　　注1  “p或q”复合命题只有当p，q同为假命题时为假，否则为真命题；“p且q”复合命题只有当p，q同时为真命题时为真，否则为假命题；p与“非p”即“p”恰好一真一假。
　　定义2  原命题：若p则q（p为条件，q为结论）；逆命题：若q则p；否命题：若非p则q；逆否命题：若非q则非p。
　　注2  原命题与其逆否命题同真假。一个命题的逆命题和否命题同真假。
　　注3  反证法的理论依据是矛盾的排中律，而未必是证明原命题的逆否命题。
　　定义3  如果命题“若p则q”为真，则记为p q否则记作p q.在命题“若p则q”中，如果已知p q,则p是q的充分条件；如果q p，则称p是q的必要条件；如果p q但q不 p，则称p是q的充分非必要条件；如果p不 q但p q，则p称为q的必要非充分条件；若p q且q p，则p是q的充要条件。
　　二、方法与例题
　　1．待定系数法。
　　例1  设方程x2-x+1=0的两根是α，β，求满足f(α)=β,f(β)=α,f(1)=1的二次函数f(x).
　　2．方程的思想。
　　例2  已知f(x)=ax2-c满足-4≤f(1)≤-1, -1≤f(2)≤5，求f(3)的取值范围。
　　3．利用二次函数的性质。
　　例3  已知二次函数f(x)=ax2+bx+c(a,b,c∈R, a 0)，若方程f(x)=x无实根，求证：方程f(f(x))=x也无实根。