共4个课件，4份试题。对平面向量内容进行了比较全面的复习。

　　第四单元   平面向量
　　4.1   平面向量的概念及线性运算
　　一、选择题
　　1．在△ABC中，AB＝c，AC＝b，若点D满足BD→＝2DC→，则AD→＝(　　)
　　A.23b＋13c     B.53c－23b     C.23b－13c     D.13b＋23c
　　解析：DC→＝AC→－AB→＝b－c，BD→＝23BC→＝23(b－c)，
　　∴AD→＝AB→＋BD→＝c＋23(b－c)＝23b＋13c
　　答案：A
　　2．(2010•广东中山调研)已知a、b是两个不共线的向量，AB→＝λa＋b，AC→＝a＋μb(λ，μ∈R)，那么A、B、C三点共线的充要条件是(　　)
　　A．λ＋μ＝2    B．λ－μ＝1    C．λμ＝－1    D．λμ＝1
　　解析：由AB→＝λa＋b，AC→＝a＋μb(λ，μ∈R)及A、B、C三点共线得AB→＝tAC→ (t∈R)，
　　所以λa＋b＝t(a＋μb)＝ta＋tμb，所以λ＝t1＝tμ，即λμ＝1.
　　答案：D
　　3．(2009•山东)设P是△ABC所在平面内的一点，BC→＋BA→＝2BP→，则(　　)
　　A．PA→＋PB→＝0       B．PC→＋PA→＝0
　　C．PB→＋PC→＝0       D．PA→＋PB→＋PC→＝0
　　解析：如上图，根据向量加法的几何意义BC→＋BA→＝2BP→⇔P是AC→的中点，
　　故PA→＋PC→＝0.
　　答案：B
　　4．已知平面内有一点P及一个△ABC，若PA→＋PB→＋PC→＝AB→，则(　　)
　　A．点P在△ABC外部  B．点P在线段AB上
　　C．点P在线段BC上  D．点P在线段AC上
　　解析：∵PA→＋PB→＋PC→＝AB→，∴PA→＋PB→＋PC→＝PB→－PA→
　　∴PC→＝－2PA→.∴2PA→＝CP→，∴点P在线段AC上．
　　答案：D
　　二、填空题
　　5．(2009•宁夏银川模拟)若AB→＝3e1，CD→＝－5e1，且AD→与CB→的模相等，则四边形ABCD是________．
　　解析：∵AB→＝－35CD→，∴AB∥CD，且|AB|≠|CD|.
　　答案：等腰梯形
　　6．(2010•浙江杭州调研)设a、b是两个不共线向量，AB→＝2a＋pb，BC→＝a＋b，CD→＝a－2b，若A、B、D三点共线，则实数p的值是________．
　　解析：∵BD→＝BC→＋CD→＝2a－b，又A、B、D三点共线，∴存在实数λ，使AB→＝λBD→.
　　即2＝2λp＝－λ，∴p＝－1.
　　答案：－1
　　7．在△ABC中，CA→＝a，CB→＝b，M是CB的中点，    N是AB的中点，且CN、AM交于点P，则AP→可用a、b表示为________．
　　解析：如图所示，AP→＝AC→＋CP→＝－CA→＋23CN→
　　＝－CA→＋23×12(CA→＋CB→)＝－CA→＋13CA→＋13CB→
　　＝－23CA→＋13CB→＝－23a＋13b.
　　答案：－23a＋13b
　　三、解答题
　　8．设两个非零向量a与b不共线，
　　(1)若AB→＝a＋b，BC→＝2a＋8b，CD→＝3(a－b)，求证：A、B、D三点共线；
　　(2)试确定实数k，使ka＋b和a＋kb共线．
　　证明：(1)∵AB→＝a＋b，BC→＝2a＋8b，CD→＝3(a－b)，
　　∴BD→＝BC→＋CD→＝2a＋8b＋3(a－b)＝2a＋8b＋3a－3b＝5(a＋b)＝5AB→.
　　∴AB→、BD→共线．又它们有公共点B，∴A、B、D三点共线．
　　(2)解答：∵ka＋b与a＋kb共线，∴存在实数λ，使ka＋b＝λ(a＋kb)，
　　即ka＋b＝λa＋λkb，∴(k－λ)a＝(λk－1)b.
　　∵a、b是不共线的两个非零向量，∴k－λ＝λk－1＝0，∴k2－1＝0.∴k＝±1.
　　9．(2010•安徽合肥调研)若a，b是两个不共线的非零向量，a与b起点相同，则当t为何值时，a，tb，13(a＋b)三向量的终点在同一条直线上？
　　解答：设OA＝a，OB→＝tb，OC→＝13(a＋b)，∴AC→＝OC→－OA→＝－23a＋13b，AB→＝OB→－OA→＝tb－a.
　　要使A、B、C三点共线，只需AC→＝λAB→.即－23a＋13b＝λtb－λa.
　　∴有－23＝－λ，13＝λt，⇒λ＝23，t＝12.∴当t＝12时，三向量终点在同一直线上．
　　10．如图所示，在△ABC中，D、F分别是BC、AC的中点，AE→＝23AD→，AB→＝a，AC→＝b.
　　(1)用a、b表示向量AD→、AE→、AF→、BE→、BF→；(2)求证：B、E、F三点共线．
　　解答：(1)延长AD到G，使AD→＝12AG→，
　　连接BG、CG，得到▱ABGC，所以AG→＝a＋b，
　　AD→＝12AG→＝12(a＋b)，AE→＝23AD→＝13(a＋b)．
　　AF→＝12AC→＝12b，BE→＝AE→－AB→＝13(a＋b)－a＝13(b－2a)．
　　BF→＝AF→－AB→＝12b－a＝12(b－2a)．
　　(2)证明：由(1)可知BE→＝23BF→，所以B、E、F三点共线．
　　1．(2010•创新题)已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若OB→＝a1OA→＋a2 010OC→，且A、B、C三点共线(该直线不过点O)，则S2 010等于(　　)
　　A．1 004     B．1 005     C．2 010     D．2 011
　　解析：∵A、B、C三点共线，
　　∴存在一个实数λ，使AB→＝λAC→，即OB→－OA→＝λ(OC→－OA→)，∴OB→＝(1－λ) OA→＋λOC→.
　　又∵OB→＝a1OA→＋a2 010OC→，∴a1＋a2 010＝(1－λ)＋λ＝1，
　　∴S2 010＝a1＋a2 0102×2 010＝1 005.
　　答案：C
　　2．(★★★★)如右图所示，设P、Q为△ABC内的两点，且AP→＝25AB→＋15AC→，AQ→＝23AB→＋14AC→，则△ABP的面积与△ABQ的面积之比为________．
　　解析：如图所示，设AM→＝25AB→，AN→＝15AC→，则AP→＝AM→＋AN→，由向量的平行四边形法则，知NP∥AB，所以S△ABPS△ABC＝ANAC＝15，
　　同理可得S△ABQS△ABC＝14，故S△ABPS△ABQ＝45.
　　答案：45