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　　数学百大经典例题——两平面的平行判定和性质
　　典型例题一
　　例1：已知正方体 ．
　　求证：平面 平面 ．
　　证明：∵ 为正方体，
　　∴ ， 
　　又  平面 ，
　　故  平面 ．
　　同理  平面 ．
　　又  ，
　　∴ 平面 平面 ．
　　说明：上述证明是根据判定定理1实现的．本题也可根据判定定理2证明，只需连接 即可，此法还可以求出这两个平行平面的距离．
　　典型例题二
　　例2：如图，已知 ， ，  ．
　　求证： ．
　　证明：过直线 作一平面 ，设 ， ．
　　∵
　　∴
　　又
　　∴
　　在同一个平面 内过同一点 有两条直线 与直线 平行
　　∴ 与 重合，即 ．
　　说明：本题也可以用反证法进行证明．
　　典型例题三
　　例3：如果一条直线与两个平行平面中的一个相交，那么它和另一个也相交．
　　已知：如图， ， ．
　　求证： 与 相交．
　　证明：在 上取一点 ，过 和 作平面 ，由于 与α有公共点 ， 与 有公共点 ．
　　∴ 与 、 都相交．
　　设 ， ．
　　∵
　　∴
　　又 、 、 都在平面 内，且 和 交于 ．
　　∵ 与 相交．
　　所以 与 相交．
　　典型例题四
　　例4：已知平面 ， ， 为夹在 ， 间的异面线段， 、 分别为 、 的中点．
　　求证：  ， ．
　　证明：连接 并延长交 于 ．
　　∵
　　∴  ， 确定平面 ，且 ， ．
　　∵ ，所以  ，
　　∴  ，
　　又  ， ，
　　∴ △ ≌△ ．
　　∴  ．
　　又  ，
　　∴  ， ．
　　故  ．
　　同理
　　说明：本题还有其它证法，要点是对异面直线的处理．
　　典型例题六
　　例6　如图，已知矩形 的四个顶点在平面上的射影分别为 、 、 、 ，且 、 、 、 互不重合，也无三点共线．
　　求证：四边形 是平行四边形．
　　证明：∵ ， 
　　∴
　　不妨设 和 确定平面 ．
　　同理  和 确定平面 ．
　　又 ，且
　　∴
　　同理
　　又
　　∴
　　又 ，
　　∴ ．
　　同理 ．
　　∴四边形 是平行四边形．
　　典型例题七
　　例7　设直线 、 ，平面 、 ，下列条件能得出 的是（　　）．
　　A． ， ，且 ， 　　B． ， ，且
　　C． ， ，且 　　　　　　D． ， ，且
　　分析：选项A是错误的，因为当 时， 与 可能相交．选项B是错误的，理由同A．选项C是正确的，因为 ， ，所以 ，又∵ ，∴ ．选项D也是错误的，满足条件的 可能与 相交．
　　答案：C
　　说明：此题极易选A，原因是对平面平行的判定定理掌握不准确所致．
　　本例这样的选择题是常见题目，要正确得出选择，需要有较好的作图能力和对定理、公理的准确掌握、深刻理解，同时要考虑到各种情况．
　　典型例题八
　　例8　设平面  平面 ，平面  平面 ，且 、 分别与 相交于 、 ， ．求证：平面  平面 ．
　　分析：要证明两平面平行，只要设法在平面 上找到两条相交直线，或作出相交直线，它们分别与 平行（如图）．