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共30小题，约14960字。
　　2010年全国中考数学试卷之压轴题
　　★★1、（2010北京）在平面直角坐标系xOy中，抛物线y= -x2+x+m2-3m+2
　　与x轴的交点分别为原点O和点A，点B(2，n)在这条抛物线上。
　　（1）求点B的坐标；
　　（2）点P在线段OA上，从O点出发向点运动，过P点作x轴的垂线，与直线OB交于点E。延长PE到点D，使得ED=PE，以PD为斜边在PD右侧作等腰直角三角形PCD（当P点运动时，C点、D点也随之运动）
　　j 当等腰直角三角形PCD的顶点C落在此抛物线上时，求OP的长；
　　k 若P点从O点出发向A点作匀速运动，速度为每秒1个单位，同时线段OA上另一 点Q从A点出发向O点作匀速运动，速度为每秒2个单位(当Q点到达O点时停止运动，P点也同时停止运动)。过Q点作x轴的垂线，与直线AB交于点F。延长QF 到点M，使得FM=QF，以QM为斜边，在QM的左侧作等腰直角三角形QMN(当Q 点运动时，M点，N点也随之运动)。若P点运动到t秒时，两个等腰直角三角形分别有一条直角边恰好落在同一条直线上，求此刻t的值。
　　解：（1）∵拋物线y= -x2+x+m2-3m+2经过原点，∴m2-3m+2=0，解得m1=1，m2=2，由题意知m¹1，∴m=2，
　　∴拋物线的解析式为y= -x2+x，
　　∵点B(2，n)在拋物线y= -x2+x上，
　　∴n=4，∴B点的坐标为(2，4)。
　　（2）j 设直线OB的解析式为y=k1x，求得直线OB的解析式为 y=2x，∵A点是拋物线与x轴的一个交点，可求得A点的坐标为(10，0)，设P点的坐标为(a，0)，则E点的坐标为（a，2a），根据题意作等腰直角三角形PCD，如图1。可求得点C的坐标为（3a，2a），由C点在拋物线上，得2a= -´(3a)2+´3a，即a2-a=0，解得a1=，a2=0（舍去），∴OP=。
　　k 依题意作等腰直角三角形QMN，设直线AB的解析式为y=k2x+b，由点A(10，0)，
　　点B(2，4)，求得直线AB的解析式为y= -x+5，当P点运动到t秒时，两个等腰直角三角形分别有一条边恰好落在同一条直线上，有以下三种情况：
　　第一种情况：CD与NQ在同一条直线上。
　　如图2所示。可证△DPQ为等腰直角三角形。此时OP、DP、AQ的长可依次表示为t、4t、2t个单位。∴PQ=DP=4t，∴t+4t+2t=10，∴t=。
　　第二种情况：PN在同一条直线上。
　　如图3所示。可证△PQM为等腰直角三角形。此时OP、AQ的长可依次表示为t、2t个单位。∴OQ=10-2t，∵F点在直线AB上，∴FQ=t，∴MQ=2t，∴PQ=MQ=CQ=2t，
　　∴t+2t+2t=10，∴t=2。
　　第三种情况：点P、Q重合时，PD、QM在同一条直线上，
　　如图4所示。此时OP、AQ的长可依次表示为t、2t个单位。∴t+2t=10，
　　∴t=。综上，符合题意的t值分别为，2， 。
　　★★2、（2010北京）问题：已知△ABC中，ÐBAC=2ÐACB，点D是△ABC内的一点，且AD=CD，BD=BA。探究ÐDBC与ÐABC度数的比值。
　　请你完成下列探究过程：
　　先将图形特殊化，得出猜想，再对一般情况进行分析并加以证明。
　　(1) 当ÐBAC=90°时，依问题中的条件补全右图。观察图形，AB与AC的数量关系为      ； 当推出ÐDAC=15°时，可进一步推出ÐDBC的度数为      ；可得到ÐDBC与ÐABC度数的比值为      ；
　　(2) 当ÐBAC¹90°时，请你画出图形，研究ÐDBC与ÐABC度数的比值是否与(1)中的结论相同，写出你的猜想并加以证明。
　　解：(1) 相等；15°；1：3。
　　(2) 猜想：ÐDBC与ÐABC度数的比值与(1)中结论相同。
　　证明：如图2，作ÐKCA=ÐBAC，过B点作BK//AC交CK于点K，
　　连结DK。∵ÐBAC¹90°，∴四边形ABKC是等腰梯形，
　　∴CK=AB，∵DC=DA，∴ÐDCA=ÐDAC，∵ÐKCA=ÐBAC，
　　∴ÐKCD=Ð3，∴△KCD@△BAD，∴Ð2=Ð4，KD=BD，
　　∴KD=BD=BA=KC。∵BK//AC，∴ÐACB=Ð6，
　　∵ÐKCA=2ÐACB，∴Ð5=ÐACB，∴Ð5=Ð6，∴KC=KB，
　　∴KD=BD=KB，∴ÐKBD=60°，∵ÐACB=Ð6=60°-Ð1，
　　∴ÐBAC=2ÐACB=120°-2Ð1，
　　∵Ð1+(60°-Ð1)+(120°-2Ð1)+Ð2=180°，∴Ð2=2Ð1，
　　∴ÐDBC与ÐABC度数的比值为1：3。
　　★★3、（2010郴州）如图（1），抛物线与y轴交于点A，E（0，b）为y轴上一动点，过点E的直线与抛物线交于点B、C.
　　（1）求点A的坐标；
　　（2)当b=0时（如图（2）），与的面积大小关系如何？当时，上述关系还成立吗，为什么？
　　（3）是否存在这样的b，使得是以BC为斜边的直角三角形，若存在，求出b；若不存在，说明理由.