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　　函数的零点（基础）
　　方法与技巧
　　1.函数零点的判定常用的方法有：①零点存在性定理；②数形结合；③解方程f（x）=0.
　　2.研究方程f(x)=g(x)的解，实质就是研究G(x)=f（x）-g（x）的零点.也可以研究f(x)与g(x)图象的交点。
　　3.二分法是求方程的根的近似值的一种计算方法.其实质是通过不断地“取中点”来逐步缩小零点所在的范围，当达到一定的精确度要求时，所得区间的任一点就是这个函数零点的近似值.
　　4..对于函数y=f(x)(x∈D),我们把使f(x)=0的实数x叫做函数的零点,注意以下几点:
　　(1)函数的零点是一个实数
　　(2)函数的零点也就是函数y=f(x)的图象与x轴的交点的横坐标.
　　(3)函数的零点不是点,是方程f(x)=0的根.
　　5. 对函数零点存在的判断中,必须强调:
　　(1)f(x)在［a,b］上连续;(2)f(a)•f(b)<0;(3)在（a,b）内存在零点.
　　事实上,要证明有唯一零点时还需要证明单调性
　　典例1：已知函数f(x)＝x3－x2＋x2＋14. 证明：存在x0∈(0，12)，使f(x0)＝x0.
　　证明：令g(x)＝f(x)－x.∵g(0)＝14，g(12)＝f(12)－12＝－18，∴g(0)•g(12)<0.
　　又函数g(x)在[0，12]上连续，所以存在x0∈(0，12)，使g(x0)＝0.即f(x0)＝x0.
　　典例2：已知函数f(x)＝4x＋m•2x＋1有且仅有一个零点，求m的取值范围，并求出该零点.
　　解：∵f(x)＝4x＋m•2x＋1有且仅有一个零点，即方程(2x)2＋m•2x＋1＝0仅有一个实根.设2x＝t(t＞0)，则t2＋mt＋1＝0.当Δ＝0，即m2－4＝0，
　　∴m＝－2时，t＝1；m＝2时，t＝－1不合题意，舍去，∴2x＝1，x＝0符合题意.
　　当Δ＞0，即m＞2或m＜－2时，t2＋mt＋1＝0有一正一负根，
　　即t1t2＜0，这与t1t2＞0矛盾.∴这种情况不可能.
　　综上可知：m＝－2时，f(x)有唯一零点，该零点为x＝0.
　　典例3：若函数f(x)＝ax3－bx＋4，当x＝2时，函数f(x)有极值－43.
　　(1)求函数的解析式；
　　(2)若关于x的方程f(x)＝k有三个零点，求实数k的取值范围.
　　解：由题意可知f′(x)＝3ax2－b，
　　(1)于是
　　故所求的解析式为f(x)＝13x3－4x＋4.
　　(2)由(1)可知f′(x)＝x2－4＝(x－2)(x＋2)，令f′(x)＝0，得x＝2，或x＝－2.
　　当x变化时f′(x)、f(x)的变化情况如下表所示：
　　X (－∞，－2) －2 (－2,2) 2 (2，＋∞)
　　f′(x) ＋ 0 － 0 ＋
　　f(x) 单调递增   单调递减   单调递增
　　因此，当x＝－2时，f(x)有极大值283；当x＝2时，f(x)有极小值－43.
　　所以函数的大致图象如图.故实数k的取值范围是－43＜k＜283.
　　题组一 函数零点的判定
　　1.若函数f(x)在区间[－2,2]上的图象是连续不断的曲线，且函数f(x)在(－2,2)内有一个零点，则f(－2)•f(2)的值                                                
　　A.大于0     B.小于0    C.等于0       D.不能确定
　　解析：若函数f(x)在(－2,2)内有一个零点，则该零点是变号零点，则f(－2)f(2)<0.若不是变号零点，则f(－2)f(2)>0.
　　答案：D
　　2.设f(x)＝3x－x2，则在下列区间中，使函数f(x)有零点的区间是     
　　A.[0,1]             B.[1,2]      C.[－2，－1]        D.[－1,0]
　　解析：∵f(－1)＝3－1－(－1)2＝13－1＝－23<0，f(0)＝30－0＝1>0，
　　∴函数f(x)＝3x－x2在区间[－1,0]内存在零点.答案：D
　　3.(2010•苏北三市联考)若方程lnx＋2x－10＝0的解为x0，则不小于x0的小整数是　　　　.
　　解析：令f(x)＝lnx＋2x－10，则f(5)＝ln5＞0，f(4)＝ln4－2＜0
　　∴4＜x0＜5，∴不小于x0的最小整数是5.答案：5
　　题组二 函数零点的求法