《数列与函数》复习教案
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《数列与函数》复习教案
●考试目标 主词填空
1.函数的定义域常要推导或计算才能确定，而数列的定义域都是已知的，是事先确定的，要么是集合{1，2，3，…，n}.要么是{1，2，3，…，n，…}.
2.函数的值域须依其定义域推算确定，数列的值域也是计算所得：且为{a1，a2，…，an}或{a1，a2，a3，…，an，…}.
3.函数的图像最常见的是连续不断的曲线(若是分段函数则在每一段上是连续不断的曲线)，而数列对应的点(n，an)描绘出来的图形是一些“孤零零的点”，不是线状图形.
4.函数的单调性考察，须在其定义域内任取x1，x2，不妨设x1<x2，然后比较f(x1)与f(x2)的大小关系是否恒定.而数列{an}的单调性考察，只须比较对一切n，an与an+1的大小关系即可.
5.函数的最值，在数列中就是“最大项”或“最小项”.
6.函数的作图，往往要利用函数的各种性质或用“变换”作图，而数列的图形只须描点即可.
●题型示例 点津归纳
【例1】 填空题.(1)函数f(x)=sin (x∈N*)的值域是 ，最大函数值为 .
(2)当且仅当n= 时，数列{n2-21n}单调增.
【解前点津】 (1)考察函数在一个周期内的取值情况即可.
(2)an=n2-21n解不等式：an<an+1即得.
【规范解答】 (1)f(1)=sin ，f(2)=sin ，f(3)=sin =sin ，f(4)=sin =sin ，f(5)=0，故值域为 .
(2)令an=n2-21n.由an<an+1得，n2-21n<(n+1)2-21(n+1) n>10.故n∈{11，12，13，…}.
【解后归纳】 考察数列{an}的单调性，关键是看an<an+1(或an>an+1)成立与否.
【例2】 判断并证明函数f(x)= - (x∈N*)的单调性.
【解前点津】 化函数f(x)为 再比较f(x+1)与f(x)的大小.
【规范解答】 证明：f(x)= >0(x∈N*),故 = <1，∴f(x+1)<f(x)，∴f(x)是N*上的单调减函数.
【解后归纳】 (1)将分子有理化，是逆向思维，(2)当被比较的两个量是正数时，可考虑比较商.【例3】 设数列{an}的前n项和为Sn，且(3-m)Sn+2man=m+3(n∈N*)，其中m为常数且m≠-3.
(1)求证：{an}是等比数列.
(2)若函数{an}的公比q=f(m)，数列{bn}满足：b1=a1，bn= f(bn-1)(n∈N*，n≥2)，求证： 为等差数列，并求bn.
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