高中数学复习专题讲座教案（直线方程及其应用等15份）
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云南省2010届高三二轮复习专题（二十一）
题目 高中数学复习专题讲座直线方程及其应用
高考要求
直线是最简单的几何图形，是解析几何最基础的部分，本章的基本概念；基本公式；直线方程的各种形式以及两直线平行、垂直、重合的判定都是解析几何重要的基础内容 应达到熟练掌握、灵活运用的程度，线性规划是直线方程一个方面的应用，属教材新增内容，高考中单纯的直线方程问题不难，但将直线方程与其他知识综合的问题是学生比较棘手的
重难点归纳
1 对直线方程中的基本概念，要重点掌握好直线方程的特征值(主要指斜率、截距)等问题；直线平行和垂直的条件；与距离有关的问题等
2 对称问题是直线方程的一个重要应用，中学里面所涉及到的对称一般都可转化为点关于点或点关于直线的对称 中点坐标公式和两条直线垂直的条件是解决对称问题的重要工具
3 线性规划是直线方程的又一应用 线性规划中的可行域，实际上是二元一次不等式(组)表示的平面区域 求线性目标函数z=ax+by的最大值或最小值时，设t=ax+by,则此直线往右(或左)平移时，t值随之增大(或减小)，要会在可行域中确定最优解
4 由于一次函数的图象是一条直线，因此有关函数、数列、不等式、复数等代数问题往往借助直线方程进行，考查学生的综合能力及创新能力
典型题例示范讲解
例1某校一年级为配合素质教育，利用一间教室作为学生绘画成果展览室，为节约经费，他们利用课桌作为展台，将装画的镜框放置桌上，斜靠展出，已知镜框对桌面的倾斜角为α(90°≤α＜180°)镜框中，画的上、下边缘与镜框下边缘分别相距a m,b m,(a＞b) 问学生距离镜框下缘多远看画的效果最佳？
命题意图 本题是一个非常实际的数学问题，它不仅考查了直线的有关概念以及对三角
云南省2010届高三二轮复习专题（二十二）
题目 高中数学复习专题讲座曲线的轨迹方程的求法
高考要求
求曲线的轨迹方程是解析几何的两个基本问题之一 求符合某种条件的动点的轨迹方程，其实质就是利用题设中的几何条件，用“坐标化”将其转化为寻求变量间的关系 这类问题除了考查学生对圆锥曲线的定义，性质等基础知识的掌握，还充分考查了各种数学思想方法及一定的推理能力和运算能力，因此这类问题成为高考命题的热点，也是同学们的一大难点
重难点归纳
求曲线的轨迹方程常采用的方法有直接法、定义法、代入法、参数法
(1)直接法 直接法是将动点满足的几何条件或者等量关系，直接坐标化，列出等式化简即得动点轨迹方程
(2)定义法 若动点轨迹的条件符合某一基本轨迹的定义(如椭圆、双曲线、抛物线、圆等)，可用定义直接探求
(3)相关点法 根据相关点所满足的方程，通过转换而求动点的轨迹方程
(4)参数法 若动点的坐标(x,y)中的x,y分别随另一变量的变化而变化，我们可以以这个变量为参数，建立轨迹的参数方程
求轨迹方程，一定要注意轨迹的纯粹性和完备性 要注意区别“轨迹”与“轨迹方程”是两个不同的概念
云南省2010届高三二轮复习专题（二十三）
题目 高中数学复习专题讲座关于求圆锥曲线方程的方法
高考要求
求指定的圆锥曲线的方程是高考命题的重点，主要考查学生识图、画图、数形结合、等价转化、分类讨论、逻辑推理、合理运算及创新思维能力，解决好这类问题，除要求同学们熟练掌握好圆锥曲线的定义、性质外，命题人还常常将它与对称问题、弦长问题、最值问题等综合在一起命制难度较大的题，解决这类问题常用定义法和待定系数法
重难点归纳
一般求已知曲线类型的曲线方程问题，可采用“先定形，后定式，再定量”的步骤
定形——指的是二次曲线的焦点位置与对称轴的位置
定式——根据“形”设方程的形式，注意曲线系方程的应用，如当椭圆的焦点不确定在哪个坐标轴上时，可设方程为mx2+ny2=1(m＞0,n＞0)
定量——由题设中的条件找到“式”中特定系数的等量关系，通过解方程得到量的大小
典型题例示范讲解
例1某电厂冷却塔的外形是如图所示的双曲线的一部分，绕其中轴(即双曲线的虚轴)旋转所成的曲面，其中A、A′是双曲线的顶点，C、C′是冷却塔上口直径的两个端点，B、B′是下底直径的两个端点，已知AA′=14 m，CC′=18 m,BB′=22 m,塔高20 m 建立坐标系并写出该双曲线方程
命题意图 本题考查选择适当的坐标系建立曲线方程和解方程组的基础知识，考查应用所学积分知识、思想和方法解决实际问题的能力
云南省2010届高三二轮复习数学专题教案（二十四）
特征方程法求解递推关系中的数列通项（二）
三、(分式递推式)定理3：如果数列 满足下列条件：已知 的值且对于 ，都有 （其中p、q、r、h均为常数，且 ），那么，可作特征方程 .
（1）当特征方程有两个相同的根 （称作特征根）时，
若 则
若 ，则 其中 特别地，当存在 使 时，无穷数列 不存在.
（2）当特征方程有两个相异的根 、 （称作特征根）时，则 ，
其中
云南省2010届高三二轮复习专题（二十五）
题目 高中数学复习专题讲座直线与圆锥曲线问题的处理方法(2)
高考要求
直线与圆锥曲线联系在一起的综合题在高考中多以高档题、压轴题出现，主要涉及位置关系的判定，弦长问题、最值问题、对称问题、轨迹问题等 突出考查了数形结合、分类讨论、函数与方程、等价转化等数学思想方法，要求考生分析问题和解决问题的能力、计算能力较高，起到了拉开考生“档次”，有利于选拔的功能
重难点归纳
1 直线与圆锥曲线有无公共点或有几个公共点的问题，实际上是研究它们的方程组成的方程是否有实数解成实数解的个数问题，此时要注意用好分类讨论和数形结合的思想方法
2 当直线与圆锥曲线相交时 涉及弦长问题，常用“韦达定理法”设而不求计算弦长(即应用弦长公式)；涉及弦长的中点问题，常用“点差法”设而不求，将弦所在直线的斜率、弦的中点坐标联系起来，相互转化 同时还应充分挖掘题目的隐含条件，寻找量与量间的关系灵活转化，往往就能事半功倍
典型题例示范讲解
例1如图，已知某椭圆的焦点是F1(－4，0)、F2(4，0)，过点F2并垂直于x轴的直线与椭圆的一个交点为B，且|F1B|+|F2B|=10，椭圆上不同的两点A(x1,y1),C(x2,y2)满足条件 |F2A|、|F2B|、|F2C|成等差数列
(1)求该弦椭圆的方程；
(2)求弦AC中点的横坐标；
(3)设弦AC的垂直平分线的方程为y=kx+m，求m的取值范围
云南省2010届高三二轮复习专题（二十六）
题目 高中数学复习专题讲座圆锥曲线综合题
高考要求
圆锥曲线的综合问题包括 解析法的应用，与圆锥曲线有关的定值问题、最值问题、参数问题、应用题和探索性问题，圆锥曲线知识的纵向联系，圆锥曲线知识和三角、复数等代数知识的横向联系，解答这部分试题，需要较强的代数运算能力和图形认识能力，要能准确地进行数与形的语言转换和运算，推理转换，并在运算过程中注意思维的严密性，以保证结果的完整
重难点归纳
解决圆锥曲线综合题，关键是熟练掌握每一种圆锥曲线的定义、标准方程、图形与几何性质，注意挖掘知识的内在联系及其规律，通过对知识的重新组合，以达到巩固知识、提高能力的目的
(1)对于求曲线方程中参数的取值范围问题，需构造参数满足的不等式，通过求不等式(组)求得参数的取值范围；或建立关于参数的目标函数，转化为函数的值域
(2)对于圆锥曲线的最值问题，解法常有两种 当题目的条件和结论能明显体现几何特征及意义，可考虑利用数形结合法解；当题目的条件和结论能体现一种明确的函数关系，则可先建立目标函数，再求这个函数的最值
典型题例示范讲解
例1已知圆k过定点A(a,0)(a＞0),圆心k在抛物线C y2=2ax上运动，MN为圆k在y轴上截得的弦
云南省2010届高三二轮复习专题（二十七）
题目 高中数学复习专题讲座关于垂直与平行的问题
高考要求
垂直与平行是高考的重点内容之一，考查内容灵活多样 本节主要帮助考生深刻理解线面平行与垂直、面面平行与垂直的判定与性质，并能利用它们解决一些问题
重难点归纳
垂直和平行涉及题目的解决方法须熟练掌握两类相互转化关系
1 平行转化 线线平行 线面平行 面面平行
2 垂直转化 线线垂直 线面垂直 面面垂直
每一垂直或平行的判定就是从某一垂直或平行开始转向另一垂直或平行最终达到目的
例如 有两个平面垂直时，一般要用性质定理，在一个平面内作交线的垂线，使之转化为线面垂直，然后进一步转化为线线垂直
典型题例示范讲解
例1两个全等的正方形ABCD和ABEF所在平面相交于AB，M∈AC，N∈FB，且AM=FN，求证 MN∥平面BCE
命题意图 本题主要考查线面平行的判定，面面平行的判定与性质，以及一些平面几何的知识
知识依托 解决本题的关键在于找出面内的一条直线和该平面外的一条直线平行，即线(内)∥线(外) 线(外)∥面 或转化为证两个平面平行
云南省2010届高三二轮复习专题（二十八）
题目 高中数学复习专题讲座关于求空间的角的问题
高考要求
空间的角是空间图形的一个要素，在异面直线所成的角、线面角、二面角等知识点上，较好地考查了学生的逻辑推理能力以及化归的数学思想
重难点归纳
空间角的计算步骤 一作、二证、三算
1 异面直线所成的角 范围 0°＜θ≤90°
方法 ①平移法；②补形法
2 直线与平面所成的角 范围 0°≤θ≤90°
方法 关键是作垂线，找射影
3 二面角
方法 ①定义法；②三垂线定理及其逆定理；③垂面法
注1 二面角的计算也可利用射影面积公式S′=Scosθ来计算
注2 借助空间向量计算各类角会起到事半功倍的效果
4．三种空间角的向量法计算公式：
⑴异面直线 所成的角 ： ；
⑵直线 与平面 (法向量 )所成的角 ： ；
⑶锐二面角 ： ，其中 为两个面的法向量。
云南省2010届高三二轮复习专题（二十九）
题目 高中数学复习专题讲座关于求空间距离的问题
高考要求
空间中距离的求法是历年高考考查的重点，其中以点与点、点到线、点到面的距离为基础，求其他几种距离一般化归为这三种距离
重难点归纳
1.空间中的距离主要指以下七种
(1)两点之间的距离
(2)点到直线的距离
(3)点到平面的距离
(4)两条平行线间的距离
(5)两条异面直线间的距离
(6)平面的平行直线与平面之间的距离
(7)两个平行平面之间的距离
七种距离都是指它们所在的两个点集之间所含两点的距离中最小的距离 七种距离之间有密切联系，有些可以相互转化，如两条平行线的距离可转化为求点到直线的距离，平行线面间的距离或平行平面间的距离都可转化成点到平面的距离
在七种距离中，求点到平面的距离是重点，求两条异面直线间的距离是难点
求点到平面的距离 (1)直接法，即直接由点作垂线，求垂线段的长 (2)转移法，转化成求另一点到该平面的距离 (3)体积法 (3)向量法
求异面直线的距离 (1)定义法，即求公垂线段的长 (2)转化成求直线与平面的距离
云南省2010届高三二轮复习专题（三十）
题目 高中数学复习专题讲座排列、组合的应用问题
高考要求
排列、组合是每年高考必定考查的内容之一，纵观全国高考数学题，每年都有1～2道排列组合题，考查排列组合的基础知识、思维能力
重难点归纳
1 排列与组合的应用题，是高考常见题型，其中主要考查有附加条件的应用问题 解决这类问题通常有三种途径 (1)以元素为主，应先满足特殊元素的要求，再考虑其他元素 (2)以位置为主考虑，即先满足特殊位置的要求，再考虑其他位置 (3)先不考虑附加条件，计算出排列或组合数，再减去不符合要求的排列数或组合数 前两种方式叫直接解法，后一种方式叫间接(剔除)解法
2 在求解排列与组合应用问题时，应注意
(1)把具体问题转化或归结为排列或组合问题；
(2)通过分析确定运用分类计数原理还是分步计数原理；
(3)分析题目条件，避免“选取”时重复和遗漏；
(4)列出式子计算和作答
3 解排列与组合应用题常用的方法有 直接计算法与间接(剔除)计算法；分类法与分步法；元素分析法和位置分析法；插空法和捆绑法等八种
4 经常运用的数学思想是
①分类讨论思想；②转化思想；③对称思想
典型题例示范讲解
例1在∠AOB的OA边上取m个点，在OB边上取n个点(均除O点外)，连同O点共
云南省2010届高三二轮复习专题（三十一）
题目 高中数学复习专题讲座概率与统计
高考要求
概率是高考的重点内容之一，尤其是新增的随机变量这部分内容 要充分注意一些重要概念的实际意义，理解概率处理问题的基本思想方法
重难点归纳
本章内容分为概率初步和随机变量两部分 第一部分包括等可能事件的概率、互斥事件有一个发生的概率、相互独立事件同时发生的概率和独立重复实验 第二部分包括随机变量、离散型随机变量的期望与方差
涉及的思维方法 观察与试验、分析与综合、一般化与特殊化
主要思维形式有 逻辑思维、聚合思维、形象思维和创造性思维
典型题例示范讲解
例1有一容量为50的样本，数据的分组及各组的频率数如下
［10，15］4 ［30，35 9 ［15，20 5 ［35，40 8
［20，25 10 ［40，45 3 ［25，30 11
(1)列出样本的频率分布表(含累积频率)；
(2)画出频率分布直方图和累积频率的分布图
命题意图 本题主要考查频率分布表，频率分布直方图和累积频率的分布图的画法
知识依托 频率、累积频率的概念以及频率分布表、直方图和累积频率分布图的画法
错解分析 解答本题时，计算容易出现失误，且要注意频率分布与累积频率分布的区别
技巧与方法 本题关键在于掌握三种表格的区别与联系
云南省2010届高三二轮复习专题（三十二）
题目 高中数学复习专题讲座数学归纳法的解题应用
高考要求
数学归纳法是高考考查的重点内容之一 类比与猜想是应用数学归纳法所体现的比较突出的思想，抽象与概括，从特殊到一般是应用的一种主要思想方法
重难点归纳
(1)数学归纳法的基本形式
设P(n)是关于自然数n的命题，若
1°P(n0)成立(奠基)
2°假设P(k)成立(k≥n0)，可以推出P(k+1)成立(归纳)，则P(n)对一切大于等于n0的自然数n都成立
(2)数学归纳法的应用
具体常用数学归纳法证明 恒等式，不等式，数的整除性，几何中计算问题，数列的通项与和等
典型题例示范讲解
例1试证明 不论正数a、b、c是等差数列还是等比数列，当n＞1,n∈N*且a、b、c互不相等时，均有 an+cn＞2bn
命题意图 本题主要考查数学归纳法证明不等式
知识依托 等差数列、等比数列的性质及数学归纳法证明不等式的一般步骤
错解分析 应分别证明不等式对等比数列或等差数列均成立，不应只证明一种情况
技巧与方法 本题中使用到结论 (ak－ck)(a－c)＞0恒成立(a、b、c为正数)，从而
云南省2010届高三二轮复习专题（三十三）
题目 高中数学复习专题讲座极限的概念及其运算
高考要求
极限的概念及其渗透的思想，在数学中占有重要的地位，它是人们研究许多问题的工具 旧教材中原有的数列极限一直是历年高考中重点考查的内容之一 本节内容主要是指导考生深入地理解极限的概念，并在此基础上能正确熟练地进行有关极限的运算问题
重难点归纳
1 学好数列的极限的关键是真正从数列的项的变化趋势理解数列极限
学好函数的极限的关键是真正从函数值或图象上点的变化趋势理解函数极限
2 运算法则中各个极限都应存在 都可推广到任意有限个极限的情况，不能推广到无限个 在商的运算法则中，要注意对式子的恒等变形，有些题目分母不能直接求极限
3 注意在平时学习中积累一些方法和技巧，如
典型题例示范讲解
云南省2010届高三二轮复习专题（三十四）
题目 高中数学复习专题讲座函数的连续及其应用
高考要求
函数的连续性是新增加的内容之一 它把高中的极限知识与大学知识紧密联在一起 在高考中，必将这一块内容溶入到函数内容中去，因而一定成为高考的又一个热点 本节内容重点阐述这一块知识的知识结构体系
重难点归纳
1 深刻理解函数f(x)在x0处连续的概念
等式 f(x)=f(x0)的涵义是
(1)f(x0)在x=x0处有定义，即f(x0)存在；
(2) f(x)存在，这里隐含着f(x)在点x=x0附近有定义；
(3)f(x)在点x0处的极限值等于这一点的函数值，即 f(x)=f(x0) 函数f(x)在x0处连续，反映在图像上是f(x)的图像在点x=x0处是不间断的
2 函数f(x)在点x0不连续，就是f(x)的图像在点x=x0处是间断的
其情形
(1) f(x)存在；f(x0)存在，但 f(x)≠f(x0);
(2) f(x)存在，但f(x0)不存在 (3) f(x)不存在
云南省2010届高三二轮复习数学专题教案（三十五）
题目 高中数学复习专题讲座导数的运算法则及基本公式应用
高考要求
导数是中学限选内容中较为重要的知识，本节内容主要是在导数的定义，常用求等公式 四则运算求导法则和复合函数求导法则等问题上对考生进行训练与指导
重难点归纳
1 深刻理解导数的概念，了解用定义求简单的导数
表示函数的平均改变量，它是Δx的函数，而f′(x0)表示一个数值，即f′(x)= ，知道导数的等价形式
2 求导其本质是求极限，在求极限的过程中，力求使所求极限的结构形式转化为已知极限的形式，即导数的定义，这是顺利求导的关键
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