《平面向量的正交分解和坐标表示及运算》教案
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约1050字。
《平面向量基本定理》教案
教学目的:
(1)了解平面向量基本定理;
(2)理解平面里的任何一个向量都可以用两个不共线的向量来表示,初步掌握应用向量解决实际问题的重要思想方法;
(3)能够在具体问题中适当地选取基底,使其他向量都能够用基底来表达.
教学重点:平面向量基本定理.
教学难点:平面向量基本定理的理解与应用.
授课类型:新授课
教 具:多媒体、实物投影仪
教学过程:
一、 复习引入:
1.实数与向量的积:实数λ与向量 的积是一个向量,记作:λ
(1)|λ |=|λ|| |;(2)λ>0时λ 与 方向相同;λ<0时λ 与 方向相反;λ=0时λ =
2.运算定律
结合律:λ(μ )=(λμ) ;分配律:(λ+μ) =λ +μ , λ( + )=λ +λ
3. 向量共线定理 向量 与非零向量 共线的充要条件是:有且只有一个非零实数λ,使 =λ .
二、讲解新课:
平面向量基本定理:如果 , 是同一平面内的两个不共线向量,那么对于这一平面内的任一向量 ,有且只有一对实数λ1,λ2使 =λ1 +λ2 .
探究:
(1) 我们把不共线向量e1、e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底;
(2) 基底不惟一,关键是不共线;
(3) 由定理可将任一向量a在给出基底e1、e2的条件下进行分解;
(4) 基底给定时,分解形式惟一. λ1,λ2是被 , , 唯一确定的数量
三、讲解范例:
《平面向量的正交分解和坐标表示及运算》教案
教学目的:
(1)理解平面向量的坐标的概念;
(2)掌握平面向量的坐标运算;
(3)会根据向量的坐标,判断向量是否共线.
教学重点:平面向量的坐标运算
教学难点:向量的坐标表示的理解及运算的准确性.
授课类型:新授课
教 具:多媒体、实物投影仪
教学过程:
一、复习引入:
1.平面向量基本定理:如果 , 是同一平面内的两个不共线向量,那么对于这一平面内的任一向量 ,有且只有一对实数λ1,λ2使 =λ1 +λ2
(1)我们把不共线向量e1、e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底;
(2)基底不惟一,关键是不共线;
(3)由定理可将任一向量a在给出基底e1、e2的条件下进行分解;
(4)基底给定时,分解形式惟一. λ1,λ2是被 , , 唯一确定的数量
二、讲解新课:
1.平面向量的坐标表示
如图,在直角坐标系内,我们分别取与 轴、 轴方向相同的两个单位向量 、 作为基底.任作一个向量 ,由平面向量基本定理知,有且只有一对实数 、 ,使得
…………○1
我们把 叫做向量 的(直角)坐标,记作
…………○2
其中 叫做 在 轴上的坐标, 叫做 在 轴上的坐标,○2式叫做向量的坐标表示.与 相等的向量的坐标也为 .
特别地, , , .
如图,在直角坐标平面内,以原点O为起点作 ,则点 的位置由 唯一确定.
设 ,则向量 的坐标 就是点 的坐标;反过来,点 的坐标 也就是向量 的坐标.因此,在平面直角坐标系内,每一个平面向量都是可以用一对实数唯一表示.
2.平面向量的坐标运算
(1) 若 , ,则 ,
两个向量和与差的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和与差.
设基底为 、 ,则
即 ,同理可得
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