约4920字。
     课题：两角差的余弦公式
　　湖南师大附中            吴菲
　　三维目标：
　　知识目标：通过让学生猜想、探索、发现并推导“两角差的余弦公式”；了解单角与复角的三角函数之间的内在联系；通过变式训练，加深对两角差的余弦公式的理解；培养学生的运算能力及逻辑推理能力，提高学生的数学素质。
　　能力目标：运用两角差的余弦公式，会进行简单的求值、化简、证明；体会化归、数形结合等数学思想在数学当中的运用，使学生树立联系与转化的辨证唯物主义观点，提高学生分析问题、解决问题的能力。
　　情感目标：本节课通过创设问题情景，使学生体验科学探索的过程，感受科学探索的乐趣，激励科学探索的勇气，培养学生的创新精神和良好的团队合作意识。 
　　重点难点：
　　教学重点：通过探究得到两角差的余弦公式
　　教学难点：探索过程的组织和适当引导。
　　教学过程：
　　一、 走入生活
　　引入：同学们，在第一章我们学习了同角三角函数式的变换，今天我们将一起探究一种包含两个角的三角函数式的变换：两角差的余弦公式。先让我们走入生活，看一个例子：
　　例：如图所示,一个斜坡的高为6m,斜坡的水平长度为8m,已知作用在物体上的力F与水平方向的夹角为60°,且大小为10N ,在力F的作用下物体沿斜坡运动了３m,求力F作用在物体上的功W．
　　解： W =  
　　= 30 ． 
　　提问：1、解决问题需要求什么?
　　2、你能找到哪些与 有关的条件?
　　3、能否利用这些条件求出 ？如果能，提出你的猜想．
　　4、怎样检验这些猜想是否正确？
　　二、 合作探讨
　　从特殊情况去猜测公式的结构形式．
　　令 
　　令 
　　分析：可见，我们的公式的形式应该与 均有关系？他们之间存在怎样的代数关系呢？会不会是“＋”、“－”、“ ”、“÷”？请同学们根据下表中数据，相互交流讨论，提出你的猜想．
　　用具体值检验猜想的合理性．
　　令 则 ＝ 
　　三角函数  
　　
　　
　　
　　三角函数值  
　　
　　
　　
　　学生再举特例进行验证．（各抒己见）
　　利用几何画板，对更多的情况加以验证。
　　三、提出猜想： 
　　师：要让猜想更有说服力，我们还要进行理论证明．
　　四、理论证明：
　　引导探究：研究三角函数问题，我们常用的一种方法就是利用单位圆，在单位圆中，角的余弦值可用余弦线来表示．
　　我们先来讨论最简单的情况：
　　为锐角，且 
　　方法一：（利用三角函数线）
　　证明：在单位圆O中，作 ，
　　交单位圆于点 ，作 ，
　　则 ．过点P作PM垂直x 轴于M， ，过点  ，过点 ，则：
　　， ，且 
　　
　　∴ （ 为锐角，且 ）
　　方法小结：在整个证明过程中，我们通过几何的手段，得到了一个代数公式，这运用到了在数学探究过程中一种重要的思想方法：数形结合．
　　提问：当 取任意角的时候，结果又会怎样呢？（展示下一张幻灯片），大家思考一下．（给学生思考的时间，要求学生说出自己的思考结果．若学生说出来要给予及时的肯定，若没能说出则作为课后思考作业）．
　　方法二：（利用向量）
　　启发思考：我们来仔细观察猜想的结构，等式的左边是差角的余弦，我们在什么地方见到过类似结构？ 
　　（引导学生发现，提出证明方法）
　　（学生：向量的数量积！）
　　证明：在平面直角坐标系xOy内作单位圆O，以Ox为始边作角 ，它们终边与单位圆O的交点分别为A、B，则：
　　= ，  = 
　　
　　= 
　　∴ =   （0≤ ≤ ）
　　方法小结：对比一下两种证明方法，你认为哪种更简单？向量在我们数学探究过程中是一种非常简洁有效的工具，在今后的学习中我们还将继续领悟向量在数学探究过程中的魅力！
　　思考：1、 作为两向量的夹角，有没有限制条件？
　　2、如果 不在［０， ］这个区间内，我们的结论还会成立吗？怎样给出证明？（展示幻灯片，引导学生找到 与夹角 之间的关系）
　　推广完善：令 为 、 的夹角，
　　① 当 时，则 
　　
　　② 当 时，则存在 
　　
　　无论哪种情况，都有 
　　
　　小结：两角差的余弦公式：  
　　（其中 为任意角，简记为 ）
　　思考：请同学们仔细观察一下公式的结构，说说公式的结构有什么特点？应怎样记忆？（对学生的回答给予及时肯定）
　　五、知识运用
　　1、解决引例中的问题．
　　2、学以致用：已知 是第三象限角，
　　求 ．
　　（运用公式时应根据角的范围，正确确定两角正、余弦值的范围）
　　3、 公式的逆用：． 
　　4、拓广延伸：已知 是第三象限角，
　　求 （此题根据学生的接受情况，作为后备练习）
　　5、公式活用： ．
　　（此题根据学生的接受情况，作为后备练习）
　　六、回顾总结
　　师：我们一起来回顾总结一下今天这节课的收获．
　　1、公式探究的一般步骤：
　　特殊→猜想→证明
　　2、在运用两角差的余弦公式时应注意：
　　（1）根据角的范围，确定两角正、余弦值的正、负．
　　（2）适当逆用公式，可达到化简计算的目的．
　　（3）灵活选取两角的形式，活用公式．
　　七、 课后思考
　　适当变换两角差的余弦公式中两角的形式，例如取 ，你能得到哪些结论？
　　八、作业：
　　必做：P104  2、3、4  
　　选做：    
　　
　　
　　生活实例引入，体现数学与实际生活的联系，增强学生的应用意识，激发学生的学习热情，同时也让学生体会数学知识的产生、发展过程．
　　鼓励学生发挥想象力，大胆猜测，然后再去验证其合理性，增强学生探索问题、挑战困难的勇气．
　　
　　依据特殊情况进行猜想往往是人们探索问题的第一步．
　　鼓励学生对各种可能的情况进行探索，培养他们的交流合作意识，在探索的过程中获得成就感．
　　引导学生运用数形结合的思想给出证明．
　　加强新旧知识的联系．
　　使学生从直观角度加强对差角公式结构形式的认识．
　　让学生经历用向量知识解出一个数学问题的过程，体会向量方法的作用．
　　统一对“恒等”要求的认识．
　　运用分类讨论思想．
　　要求学生对公式的形式加以分析，体会数学中的对称美．
　　
　　1、学生运用所学解决实际问题．
　　2、利用变式突破学生在运用公式过程中的易错点．
　　3、对逆用公式解题加深认识。
　　4、活用公式，加深学生对公式中两角形式变化的认识，强化整体思想．
　　课后思考为下节课做铺垫