约3490字。
     反函数
　　成都市树德中学    陈秀丽
　　教材分析：
　　反函数是数学中的一个很重要的概念，它是我们以后进一步研究具体函数类即五大类基本初等函数的一个不可缺少的重要组成部分 
　　本节是一节概念课，关键在于反函数概念的建立 反函数是函数中的一个特殊现象，对反函数概念的讨论研究是对函数概念和函数性质在认识上的进一步深化和提高 反函数概念的建立，关键在于让学生能从两个函数关系的角度去认识它，从而深化对函数概念的认识 
　　本节是反函数的第一节课围绕如何理解反函数概念这个重难点展开 
　　由于函数是一种对应关系，这个概念本身不好理解，而反函数又是函数中的一种特殊现象，它是两个函数之间的关系 所以弄清函数与其反函数的关系，是正确理解反函数概念必不可少的重要环节 教学设计中，通过对具体例子的求解，不但使学生掌握求反函数的方法步骤，并有意识地阐明函数与反函数的关系 深化了对概念的理解和掌握  
　　教学目的：
　　1.掌握反函数的概念和表示法，达到会求一个函数的反函数
　　2.使学生直观上了解互为反函数的函数图象间的关系 
　　3.培养观察分析、抽象概括能力、归纳总结能力、逻辑推理能力、化归转化能力；发现问题和提出问题的意识、善于独立思考的习惯，体会事物之间普遍联系的辩证观点。
　　教学重点：
　　1.反函数的定义及理解
　　2.反函数的求法
　　教学难点：
　　1.反函数的定义及理解
　　2.求解反函数注意原函数与反函数的关系。（特别是反函数的定义域）
　　授课类型：新授课
　　课时安排：1课时
　　教学过程： 学生活动及设计说明
　　一、问题引入：
　　1.画出 的图像。
　　2.思考 的图像。猜想分析二者关系：
　　在 ，反解该式得 ，该函数图像和 一样，当我们将 互换后得到 ，即图像关于 对称，我们得到 的图像，那么在该过程中你能发现些什么呢？
　　二、讲解新课：
　　反函数的定义
　　一般地，设函数 的值域是C，根据这个函数中x,y 的关系，用y把x表示出，得到x= (y). 若对于y在C中的任何一个值，通过x= (y)，x在A中都有唯一的值和它对应，那么，x= (y)就表示y是自变量，x是自变量y的函数，这样的函数x= (y) (y C)叫做函数 的反函数，记作 ,习惯上改写成 
　　书上的两个例子：s=vt记为 ，则它的反函数就可以写为 ，同样 记为 ，则它的反函数为： .
　　探讨1：所有函数都有反函数吗？为什么？
　　反函数也是函数，因为它符合函数的定义，从反函数的定义可知，对于任意一个函数 来说，不一定有反函数，如 ,只有“一一映射”确定的函数才有反函数， , 有反函数是 
　　探讨2：互为反函数定义域、值域的关系
　　从映射的定义可知，函数 是定义域A到值域C的映射，而它的反函数 是集合C到集合A的映射，因此，函数 的定义域正好是它的反函数 的值域；函数 的值域正好是它的反函数 的定义域 （如下表）：
　　函数 
　　反函数 
　　定义域 A C
　　值 域 C A
　　探讨3： 的反函数是？
　　若函数 有反函数 ，那么函数 的反函数就是 ，这就是说，函数 与 互为反函数 
　　三、讲解例题：
　　例1．求下列函数的反函数：
　　① ；           ② ；
　　③ ；           ④ .
　　解：①由 解得 
　　∴函数 的反函数是 ，
　　②由 解得x= ,∴函数 的反函数是 
　　③由y= +1解得x= , ∵x 0，∴y 1. 
　　∴函数 的反函数是x=  (x 1);
　　④由 解得  ∵xc{x R|x 1}，∴y {y R|y 2}
　　∴函数 的反函数是 
　　小结：
　　⑴求反函数的一般步骤分三步，一解、二换、三注明
　　⑵反函数的定义域由原来函数的值域得到，而不能由反函数的解析式得到 
　　⑶求反函数前先判断一下决定这个函数是否有反函数，即判断映射是否是一一映射 
　　例2．求函数  （-1<x<0）的反函数 
　　解：∵ -1<x<0   ∴0< <1    ∴0<1 -  < 1    ∴ 0 < < 1        ∴0 < y <1
　　由：    解得：   (∵ -1< x < 0 )
　　∴ (-1<x < 0)的反函数是： (0<x<1 )
　　例3．已知 =  -2x(x≥2),求 .
　　解法1：（步骤1）令y= -2x，解此关于x的方程得 ，∵x≥2，∴，即x=1+ --①, 
　　（步骤2）∵x≥2，由①式知 ≥1，∴y≥0--②,
　　（步骤3）由①②得 =1+ （x≥0，x∈R）；
　　解法2：（步骤1）令y= -2x= -1，∴ =1+y，
　　∵x≥2，∴x-1≥1，∴x-1= --①,即x=1+ , 
　　（步骤2）∵x≥2，由①式知 ≥1，∴y≥0,
　　（步骤3）∴函数 =  -2x(x≥2)的反函数是 =1+ （x≥0）；
　　说明：二次函数在指定区间上的反函数可以用求根公式反求x，也可以用配方法求x，但开方时必须注意原来函数的定义域.
　　四、课堂练习：课本练习及苏大基训：
　　五、小结  本节课学习了以下内容：
　　1．反函数的定义及其注意点、求法步骤
　　2．求反函数的一般步骤分：一解、二换、三注明 
　　互为反函数的两个函数有什么关系：
　　反函数的定义域由原函数的值域得到，而不能由反函数的解析式得到
　　六、思考：
　　互为反函数的两个函数图像间有什么关系？（可从函数的性质入手思考）
　　七、课后作业：课本习题2.4
　　八、板书设计
　　
　　九、课后反思：
　　注意：1.学生思考问题时在问题设计上再注意引导
　　2.在解题过程中，多给学生思考时间。