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不等式的概念
作为表达同类量之间的大小关系的一种数学形式,不等式必须在定义了大小关系的有序集合上研究.由于复数域没有定义大小,所以不等式中的数或字母表示的数都是实数.
1.不等式
用符号>或<联结两个解析式所成的式子,称为不等式.
不等号>或<叫做严格不等号,≥或≤叫做非严格不等号(相应的不等式分别叫做严格不等式和非严格不等式).例如 表示“ 或 有一个成立,”因此1≥0或1≤1都是真的.另外,日常还使用一种只肯定不等关系但不区分孰大孰小的不等号,即“≠”.下面主要讨论严格不等式的性质.常如下定义不等式:
形如
(2-1)
的式子,称为关于变数 的不等式(符号“ ”表示不等号“>”,“<”中的任一个).
在(2-1)式中, 定义域的交集,叫做不等式(2-1)的定义域.在不等式(2-1)的定义域中,能使不等式成立的数值组,叫做不等式(2-1)的解,不等式(2-1)解的全体组成的集合,叫做不等式(2-1)的解集.求出不等式解集的过程,叫做解不等式.
如果不等式(2-1)的定义域中一切值组都使不等式(2-1)成立,那么不等式(2-1)叫做绝对不等式.如果不等式(2-1)的定义域中一切值组都使不等式(2-1)不成立,那么不等式(2-1)叫做矛盾不等式.如果不等式(2-1)的定义域中一些值组使不等式(2-1)成立,而另一些值组使不等式(2-1)不成立,那么不等式(2-1)叫做条件不等式.
在不等式(2-1)中,如果 都是代数式,那么就叫它代数不等式;如果
中至少有一个为超越式,那么就叫它超越不等式.
在代数不等式(2-1)中,如果
都是有理式,那么就叫它有理不等式;如果
至少有一个为无理式,那么就叫它无理不等式.
在有理不等式(2-1)中,如果 都是整式不等式,那么就叫它整式不等式;如果 至少有一个是分式,那么就叫它分式不等式.
2.不等式组
含有未知数 的几个不等式所组成的一组不等式
(2-2)
称为不等式组.
不等式组(2-2)中,
定义域的交集,叫做不等式组(2-2)的定义域.不等式组(2-2)中,
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