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约14530字。

　　专题六  数    列
　　考点1  数列的概念及简单表示法
　　1.(2016•浙江，13)设数列{an}的前n项和为Sn.若S2＝4，an＋1＝2Sn＋1，n∈N*，则a1＝________，S5＝________.
　　1.1，121   由于a2＝2a1＋1，a2＋a1＝4，解得a1＝1，a2＝3，
　　当n≥2时，由已知可得：
　　an＋1＝2Sn＋1，①
　　an＝2Sn－1＋1，②
　　①－②得an＋1－an＝2an，∴an＋1＝3an，又a2＝3a1，
　　∴{an}是以a1＝1为首项，公比q＝3的等比数列.
　　∴S5＝1－1×351－3＝121.
　　2.(2015•江苏，11)设数列{an}满足a1＝1，且an＋1－an＝n＋1(n∈N*)，则数列1an前10项的和为________.
　　2.2011　[∵a1＝1，an＋1－an＝n＋1，∴a2－a1＝2，a3－a2＝3，…，an－an－1＝n，将以上n－1个式子相加得an－a1＝2＋3＋…＋n＝(2＋n)(n－1)2，即an＝n（n＋1）2，令bn＝1an，故bn＝2n（n＋1）＝21n－1n＋1，故S10＝b1＋b2＋…＋b10＝21－12＋12－13＋…＋110－111＝2011.]
　　3.(2015•安徽，18)设n∈N*，xn是曲线y＝x2n＋2＋1在点(1,2)处的切线与x轴交点的横坐标.
　　(1)求数列{xn}的通项公式；
　　(2)记Tn＝x21x23…x22n－1，证明Tn≥14n.
　　3.(1)解　y′＝(x2n＋2＋1)′＝(2n＋2)x2n＋1,曲线y＝x2n＋2＋1在点(1，2)处的切线斜率为2n＋2，
　　从而切线方程为y－2＝(2n＋2)(x－1).
　　令y＝0，解得切线与x轴交点的横坐标xn＝1－1n＋1＝nn＋1.
　　(2)证明　由题设和(1)中的计算结果知Tn＝x21x23…x22n－1＝122342…2n－12n2.
　　当n＝1时，T1＝14.
　　当n≥2时，因为x22n－1＝2n－12n2＝（2n－1）2（2n）2>（2n－1）2－1（2n）2＝2n－22n＝n－1n.
　　所以Tn>122×12×23×…×n－1n＝14n.
　　综上可得对任意的n∈N*，均有Tn≥14n.
　　4.(2014•广东，19)设数列{an}的前n项和为Sn，满足Sn＝2nan＋1－3n2－4n，n∈N*，且S3＝15.
　　(1)求a1，a2，a3的值；
　　(2)求数列{an}的通项公式.
　　4. (1)依题有S1＝a1＝2a2－3－4，S2＝a1＋a2＝4a3－12－8，S3＝a1＋a2＋a3＝15，解得a1＝3，a2＝5，a3＝7.
　　(2)∵Sn＝2nan＋1－3n2－4n，①
　　∴当n≥2时，Sn－1＝2(n－1)an－3(n－1)2－4(n－1).②
　　①－②并整理得an＋1＝（2n－1）an＋6n＋12n.
　　由(1)猜想an＝2n＋1，下面用数学归纳法证明.
　　当n＝1时，a1＝2＋1＝3，命题成立；
　　假设当n＝k时，ak＝2k＋1命题成立.
　　则当n＝k＋1时，
　　ak＋1＝（2k－1）ak＋6k＋12k＝（2k－1）（2k＋1）＋6k＋12k＝2k＋3＝2(k＋1)＋1，
　　即当n＝k＋1时，结论成立.