《椭圆的简单几何性质》教学案例

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  数学《椭圆的简单几何性质》教学案例
  江苏省锡山高级中学    陈春芳
  【教学目标】
  1、学生会画具体的椭圆的图形,分析图形特征,从而归纳出椭圆的几何性质;
  2、根据椭圆的标准方程,学生能用代数方法验证所得出的几何性质;               
  3、学生能用得出的几何性质解决有关椭圆的离心率、长轴、短轴等问题。
  【教学实录】
  1.1创设情境,激发兴趣
  (用多媒体显示图片)
  图1: 国家大剧院         图2:鸟巢           图3:神七运行轨道
  教师:上节课我们学习了椭圆的定义、图形和标准方程。其实椭圆在我们生活中有着广泛的应用,比如建筑学(国家大剧院、鸟巢、神七运行轨道)、光学、运动学等,这节课我们来共同研究椭圆的性质。类比圆的几何特征来研究椭圆的几何性质。请大家拿出课前画好了椭圆的纸,你能发现椭圆有哪些性质吗?
  众生:通过折纸,我发现椭圆是轴对称图形,好像也是中心对称图形。
  教师:很好,还有其他新发现吗?
  学生1:椭圆上的点在一个矩形里,而且两条对称轴与这个矩形还有四个交点。
  教师:对,椭圆上的点在一定的范围内,而且还有四个特殊的点。刚才我们通过观察发现了椭圆的一些性质,那么下面我们进一步通过代数的方法进行验证。
  1.2问题引动,探究新知
  问题1、椭圆 有哪些几何性质?请你根据方程用代数的方法证明你得出的结论。
  (学生分组讨论、共同探究。教师巡视,不一会儿有学生举手。)
  学生2:我们组对椭圆的对称性找到了证明方法。
  教师:那你将自己的成果展示给大家看一下。
  学生2:以 代 ,以 代 发现方程不变,因此关于 轴、 轴和原点对称。(学生在黑板板书过程)。
  教师:大家对这个过程有疑问吗?
  众生:没有。
  教师:图形的对称其实是由图形上每个点对称所形成的,因此,证明是我们只要从点的坐标入手即可,还有其他结论吗?
  学生3:我们组会证明椭圆上点的坐标的取值范围。
  根据方程 ,可得 ,这个式子要有意义,则 ,同理可得 。
  教师:太出色了,这位同学用函数的思想解决了这个问题,只是应该有一点修改, ,这个尽管不是函数,但是,要使式子有意义,则根式里面应该非负。
  学生4:老师我有不同的方法,我根据椭圆的图形及标准方程求出椭圆与坐标轴的交点(最左、右、上、下的点)的坐标分别为 , ,其他点都在这四个点里面,因此可以得到坐标的范围 , 。
  教师:这位同学非常棒,他们充分利用图形和方程,结合“数”和“形”两个方面同时考虑。这四个点便是椭圆的顶点。其中线段 分别叫做长轴和短轴。长轴是过椭圆的中心的直线与椭圆相交所得的最长的线段,短轴是过椭圆的中心的直线与椭圆相交所得的最短的线段(有兴趣的同学课后可以用函数的方法证明)。 分别叫做椭圆的长半轴长和

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