吉林省东北师范大学附属中学2015-2016学年高二理科选修2-2【教案】13 导数在研究函数中的应用
1.3~10函数的极值与导数（1课时）--高二理科.docx
1.3~11函数的极值与导数（2课时）--高二理科.docx
1.3~12函数的最大（小）值与导数（1）--高二理科.docx
1.3~13函数的最大（小）值与导数（2）--高二理科.docx
1.3~8函数的单调性与导数(1)--高二理科.docx
1.3~9函数的单调性与导数(2)--高二理科.docx
课题：函数的单调性与导数(1)
课时：08
课型：新授课
教学目标：
1．了解可导函数的单调性与其导数的关系；
2．能利用导数研究函数的单调性，会求函数的单调区间，对多项式函数一般不超过三次；
教学重点：利用导数研究函数的单调性，会求不超过三次的多项式函数的单调区间
教学难点： 利用导数研究函数的单调性，会求不超过三次的多项式函数的单调区间
教学过程：
一．创设情景
函数是客观描述世界变化规律的重要数学模型，研究函数时，了解函数的赠与减、增减的快与慢以及函数的最大值或最小值等性质是非常重要的．通过研究函数的这些性质，我们可以对数量的变化规律有一个基本的了解．下面，我们运用导数研究函数的性质，从中体会导数在研究函数中的作用．
二．新课讲授
1．问题：图3.3-1（1），它表示跳水运动中高度 随时间 变化的函数 的图像，图3.3-1（2）表示高台跳水运动员的速度 随时间 变化的函数 的图像．
运动员从起跳到最高点，以及从最高点到入水这两段时间的运动状态有什么区别？
通过观察图像，我们可以发现：
（1） 运动员从起点到最高点，离水面的高度 随时间 的增加而增加，即 是增函数．相应地， ．
（2） 从最高点到入水，运动员离水面的高度 随时间 的增加而减少，即 是减函数．相应地， ．
2．函数的单调性与导数的关系
观察下面函数的图像，探讨函数的单调性与其导数正负的关系．
如图3.3-3，导数 表示函数 在
点 处的切线的斜率．
在 处， ，切线是“左下右上”式的，
这时，函数 在 附近单调递增；
在 处， ，切线是“左上右下”式的，
这时，函数 在 附近单调递减．
结论：函数的单调性与导数的关系
在某个区间 内，如果 ，那么函数 在这个区间内单调递增；如果 ，那么函数 在这个区间内单调递减．
说明：（1）特别的，如果 ，那么函数 在这个区间内是常函数．
课题：函数的最大（小）值与导数（2）
课时：13
课型：新授课
例2：12. [2014•四川卷] 21． 已知函数f(x)＝ex－ax2－bx－1，其中a，b∈R，e＝2.718 28…为自然对数的底数．
(1) 设g(x)是函数f(x)的导函数，求函数g(x)在区间[0，1]上的最小值；
解析：由f(x)＝ex－ax2－bx－1，得g(x)＝f′(x)＝ex－2ax－b.
所以g′(x)＝ex－2a.
当x∈[0，1]时，g′(x)∈[1－2a，e－2a]．
当a≤12时，g′(x)≥0，所以g(x)在[0，1]上单调递增，
因此g(x)在[0，1]上的最小值是g(0)＝1－b；
当a≥e2时，g′(x)≤0，所以g(x)在[0，1]上单调递减，
因此g(x)在[0，1]上的最小值是g(1)＝e－2a－b；
当12<a<e2时，令g′(x)＝0，得x＝ln(2a)∈(0，1)，所以函数g(x)在区间[0，ln(2a)]上单调递减，在区间(ln(2a)，1]上单调递增，
于是，g(x)在[0，1]上的最小值是g(ln(2a))＝2a－2aln(2a)－b.
综上所述，当a≤12时，g(x)在[0，1]上的最小值是g(0)＝1－b；
当12<a<e2时，g(x)在[0，1]上的最小值是g(ln(2a))＝2a－2aln(2a)－b；
当a≥e2时，g(x)在[0，1]上的最小值是g(1)＝e－2a－b.
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