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　　§1.3  算法案例
　　（第一课时 辗转相除法与更相减损术）
　　【课标定向】
　　学习目标
　　理解并应用求最大公约数的两种方法：辗转相除法与更相减损术．
　　提示与建议
　　正确掌握两种算法的特点，加以联系与区别体会算法的实际应用．
　　【互动探究】
　　自主探究
　　1.辗转相除法的基本步骤是用 的数（用变量 表示）除以 的数（用变量 表示），得到除式： ，反复执行这一步骤的次数由 决定．
　　2.更相减损术的步骤为：第一步： ，第二步： ．
　　剖例探法
　　★讲解点一　辗转相除法
　　用辗转相除法求 的最大公约数的方法是：计算出 的余数 ，若 ，则 就是 的最大公约数；若 ，则把前面的除数 作为新的被除数，把余数 作为新的除数，继续运算，直到余数为零，此时的除数即为自然数 的最大约数．
　　例题１求319，377，116的最大公约数．
　　【思维切入】求3个数的最大公约数，可以先求其中两个数的最大公约数，再求这个最大公约数与第三个数的最大公约数．
　　【解析】 （余58），
　　（余29），
　　（余0），
　　∴377与319的最大公约数为29，再求29与116的最大公约数．
　　∵ （余0），
　　∴29与116的最大公约数为29．
　　∴319，377，116的最大公约数为29．
　　【规律技巧总结】利用辗转相除法求最大公约数，当余数为0时，除数就是所求的最大公约数．初学者不加以注意，往往会把这时候的商作为最大公约数．
　　★讲解点二　更相减损术
　　更相减损术是中国古代数学专著《九章算术》中的一个算法，课本对这段原文翻译有误，应如下解释：能用2约分的先用2约分，不能用2约分时，则将分子和分母上的数取出，用较大的数减去较小的数，再把得到的差与较小的数比较，并以大数减小数，反复相减，直到两数相等．
　　例题2分别用辗转相除法和更相减损术求下列两数的最大公约数：
　　⑴261，319；⑵1734，816．
　　【思维切入】使用辗转相除法可依据 ， 反复执行，直到 为止；用更相减损术就是根据 ，反复执行，直到 为止．
　　【解析】⑴辗转相除法：
　　（余58），
　　（余29），
　　（余0），
　　∴377与319的最大公约数为29．
　　更相减损术：
　　，
　　，
　　，
　　，
　　，
　　，
　　∴377与319的最大公约数为29．
　　⑵辗转相除法：
　　（余102），
　　（余0），
　　∴1734与816的最大公约数为102．
　　更相减损术：因为两数皆为偶数，首先除以2得到867，408，再求867与408的最大公约数．
　　，
　　，
　　，
　　，
　　，
　　，
　　，
　　，
　　，
　　∴1734与816的最大公约数为102．
　　【规律技巧总结】通过上例可以发现用辗转相除法和更相减损术求得的最大公约数是相同的，但