约7830字。

　　课题：         第    课时        总序第    个教案
　　课型： 新授课          编写时时间：   年  月  日     执行时间：   年  月  日
　　教学目标：
　　知识与技能：了解排列数的意义，掌握排列数公式及推导方法，从中体会“化归”的数学思想，并能运用排列数公式进行计算。
　　过程与方法：能运用所学的排列知识，正确地解决实际问题
　　情感、态度与价值观：能运用所学的排列知识，正确地解决实际问题.
　　教学重点：排列、排列数的概念
　　教学难点：排列数公式的推导
　　教学用具：多媒体、实物投影仪
　　教学方法：从排列数公式及推导方法中体会“化归”的数学思想
　　教学过程：
　　一、复习引入：
　　1分类加法计数原理：
　　2.分步乘法计数原理：
　　二、讲解新课：
　　1问题：
　　问题1．从甲、乙、丙3名同学中选取2名同学参加某一天的一项活动，其中一名同学参加上午的活动，一名同学参加下午的活动，有多少种不同的方法？
　　解决这一问题可分两个步骤：第 1 步，确定参加上午活动的同学，从 3 人中任选 1 人，有 3 种方法；第 2 步，确定参加下午活动的同学，当参加上午活动的同学确定后，参加下午活动的同学只能从余下的 2 人中去选，于是有 2 种方法．根据分步乘法计数原理，在 3 名同学中选出 2 名，按照参加上午活动在前，参加下午活动在后的顺序排列的不同方法共有 3×2=6 种，如图 1.2一1 所示．
　　图 1.2一1
　　把上面问题中被取的对象叫做元素，于是问题可叙述为：从3个不同的元素 a , b ，。中任取 2 个，然后按照一定的顺序排成一列，一共有多少种不同的排列方法？所有不同的排列是 ab,ac,ba,bc,ca, cb,
　　共有 3×2=6 种．
　　问题2．从1,2,3,4这 4 个数字中，每次取出3个排成一个三位数，共可得到多少个不同的三位数？
　　可以分三个步骤来解决这个问题：
　　第 1 步，确定百位上的数字，在 1 , 2 , 3 , 4 这 4 个数字中任取 1 个，有 4 种方法；
　　第 2 步，确定十位上的数字，当百位上的数字确定后，十位上的数字只能从余下的 3 个数字中去取，有 3 种方法；
　　第 3 步，确定个位上的数字，当百位、十位上的数字确定后，个位的数字只能从余下的 2 个数字中去取，有 2 种方法．
　　根据分步乘法计数原理，从 1 , 2 , 3 , 4 这 4 个不同的数字中，每次取出 3 个数字，按“百”“十”“个”位的顺序排成一列，共有
　　4×3×2=24
　　种不同的排法， 因而共可得到24个不同的三位数，如图1. 2一2 所示．
　　由此可写出所有的三位数：
　　123，124, 132, 134, 142, 143，
　　213，214, 231, 234, 241, 243，
　　312，314, 321, 324, 341, 342，
　　412，413, 421, 423, 431, 432 。
　　同样，问题2 可以归结为：
　　从4个不同的元素a, b, c，d中任取 3 个，然后按照一定的顺序排成一列，共有多少种不同的排列方法？
　　所有不同排列是
　　abc, abd, acb, acd, adb, adc,
　　bac, bad, bca, bcd, bda, bdc,
　　cab, cad, cba, cbd, cda, cdb,
　　dab, dac, dba, dbc, dca, dcb.
　　共有4×3×2=24种.
　　树形图如下
　　a           b             ｃ　　　　　ｄ
　　ｂ　ｃ　ｄ　ａ　ｃ　ｄ　　ａ　ｂ　ｄ　　ａ　ｂ　ｃ
　　2．排列的概念：
　　从 个不同元素中，任取 （ ）个元素（这里的被取元素各不相同）按照一定的顺序排成一列，叫做从 个不同元素中取出 个元素的一个排列
　　说明：（1）排列的定义包括两个方面：①取出元素，②按一定的顺序排列；
　　（2）两个排列相同的条件：①元素完全相同，②元素的排列顺序也相同
　　3．排列数的定义：
　　从 个不同元素中，任取 （ ）个元素的所有排列的个数叫做从 个元素中取出 元素的排列数，用符号 表示
　　注意区别排列和排列数的不同：“一个排列”是指：从 个不同元素中，任取 个元素按照一定的顺序排成一列，不是数；“排列数”是指从 个不同元素中，任取 （ ）个元素的所有排列的个数，是一个数所以符号 只表示排列数，而不表示具体的排列
　　4．排列数公式及其推导：
　　由 的意义：假定有排好顺序的2个空位，从 个元素 中任取2个元素去填空，一个空位填一个元素，每一种填法就得到一个排列，反过来，任一个排列总可以由这样的一种填法得到，因此，所有不同的填法的种数就是排列数 ．由分步计数原理完成上述填空共有 种填法，∴ =
　　由此，求 可以按依次填3个空位来考虑，∴ = ，
　　求 以按依次填 个空位来考虑 ，
　　排列数公式：
　　（ ）
　　说明：（1）公式特征：第一个因数是 ，后面每一个因数比它前面一个
　　少1，最后一个因数是 ，共有 个因数；
　　（2）全排列：当 时即 个不同元素全部取出的一个排列
　　全排列数： （叫做n的阶乘）
　　另外，我们规定 0! =1 .
　　例1．用计算器计算： (1） ； (2） ; (3） .
　　解：用计算器可得：
　　由（ 2 ) ( 3 ）我们看到， ．那么，这个结果有没有一般性呢？即
　　.
　　排列数的另一个计算公式：
　　= .
　　即   = 
　　例2．解方程：3 ．      
　　解：由排列数公式得： ，
　　∵ ，∴  ，即 ，
　　解得  或 ，∵ ，且 ，∴原方程的解为 ．
　　例3．解不等式： ．
　　解：原不等式即 ，
　　也就是 ，化简得： ，
　　解得 或 ，又∵ ，且 ，
　　所以，原不等式的解集为 ．
　　例4．求证：（1） ；（2） ．
　　证明：（1）  ，∴原式成立
　　（2）
　　右边 
　　∴原式成立
　　例5．化简：⑴ ；⑵
　　⑴解：原式 
　　⑵提示：由 ，得 ，  
　　原式 
　　说明： ．