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共21题，约4910字。

　　湖北省黄冈市长冲高中2012届高三下学期高考交流试卷数学（理）试题
　　（全卷满分150分。考试用时120分钟。）
　　注意事项：
　　1答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上．并将准考证
　　号条形码粘贴在答题卡上的指定位置，用2B铅笔将答题卡上试卷类型B后的方框涂黑。
　　2选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
　　如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。咎在试题卷、草稿纸上无效。
　　3填空题和解答题用0.5毫米黑色墨水箍字笔将答案直接答在答题卡上对应的答题区
　　域内。答在试题卷、草稿纸上无效。
　　4考生必须保持答题卡的整洁。考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。
　　一、选择题：本大题共l0小题．每小题5分，共50分在每小题给出的四个选项中，只
　　有一项是满足题目要求的.
　　1． 集合 ，则 =
　　(A) {1,2}    (B) {0,1,2}    (C){1,2,3}      (D){0,1,2,3}
　　2.设 是定义在 上的奇函数，当 时， ，则
　　（A）         (B)        （Ｃ）１　　　　　　（Ｄ）3
　　【答案】A
　　【命题意图】本题考查函数的奇偶性，考查函数值的求法.属容易题.
　　【解析】 .              故选A.
　　3.  “ （ ）”是“ ”成立的      [答]（    ）
　　（A）充分不必要条件.         （B）必要不充分条件.
　　（C）充分条件.               （D）既不充分也不必要条件.
　　【解析】当 （ ）时， ，反之，当 时， （ ），所以“ （ ）”是“ ”成立的充分不必要条件，选A.
　　【命题意图】本题主要考查三角函数的诱导公式、特殊角的三角函数以及终边相同的角等基础知识，考查简易逻辑中充要条件的判断.记错诱导公式以及特殊角的三角函数，混淆条件的充分性和必要性，是这类问题出错的重要原因．
　　4在等比数列 中， ，公比 .若 ，则m=
　　（A）9        （B）10        （C）11         （D）12
　　命题意图：考查等比数列的通项公式和有关性质，幂的运算性质。
　　【答案】C
　　【解析】由 得 ，又 ，所以 ，解得
　　m=11，故选C。
　　5．阅读右图所示的程序框图，运行相应的程序，输出的值等于（      ）
　　A.2       B.3      C.4       D.5
　　【答案】C
　　【解析】由程序框图可知，该框图的功能是
　　输出使和
　　时的的值加1，因为 ， ，
　　所以当 时，
　　计算到 ，故输出的是4，选C。
　　【命题意图】本题属新课标新增内容，考查认识程序框图的基本能力。
　　6.若 是方程 的解，则 属于区间 （     ）         
　　（A）（ ）.   （B）（ ）.   （C）（ ）  （D）（ ）
　　【解析】 ，设 ，则 ， ，所以 ，选C.
　　【命题意图】本题考查了函数的零点与方程根的关系，隐含着对指数函数的性质、分数指数幂、连续函数的性质等知识的考查，把对方程的根的研究转化为对函数零点的考察是解题的关键.
　　7．设不等式组 所表示的平面区域是 ,平面区域是 与 关于直线 对称,对于 中的任意一点A与 中的任意一点B,  的最小值等于(    )
　　A.        B.4       C.          D.2
　　【答案】B
　　【解析】由题意知，所求的 的最小值，即为区域 中的点到直线 的距离的最小值的两倍，画出已知不等式表示的平面区域，如图所示，
　　可看出点（1，1）到直线 的距离最小，故 的最小值为
　　，所以选B。
　　【命题意图】本题考查不等式中的线性规划以及两个图形间最小距离的求解、基本公式（点到直线的距离公式等）的应用，考查了转化与化归能力。
　　8.在△ABC中，内角A、B、C的对边分别是a、b、c，若 ，sinC=2 sinB，则A= （    ）
　　（A）30°     （B）60°       （C）120°     （D）150°
　　【答案】A
　　【解析】由sinC=2 sinB结合正弦定理得： ，所以由于余弦定理得：
　　，所以A=30°，选A。
　　【命题意图】本小题考查三角形中的正弦定理、余弦定理，特殊角的三角函数等基础知识，考查同学们的运算能力。
　　9．若点O和点 分别是双曲线 的中心和左焦点,点P为双曲线右支上的任意一点,则 的取值范围为 (     )
　　A.      B.       C.        D. 
　　【答案】B
　　【解析】因为 是已知双曲线的左焦点，所以 ，即 ，所以双曲线方程为 ，设点P ，则有 ，解得 ，因为 ， ，所以 =   ，此二次函数对应的抛物线的对称轴为 ，因为 ，所以当 时， 取得最小值  ，故 的取值范围是 ，选B。
　　【命题意图】本题考查待定系数法求双曲线方程，考查平面向量的数量积的坐标运算、二次函数的单调性与最值等，考查了同学们对基础知识的熟练程序以及知识的综合应用能力、运算能力。
　　10．已知函数F(x)=|lgx|,若0<a<b,且f(a)=f(b),则a+2b的取值范围是
　　(A)    (B)    (C)   (D)
　　【命题意图】本小题主要考查对数函数的性质、函数的单调性、函数的值域。
　　【解析】因为 f(a)=f(b),所以|lga|=|lgb|,所以a=b(舍去)，或 ，所以a+2b=
　　又0<a<b,所以0<a<1<b，令 ,由“对勾”函数的性质知函数 在 (0,1)上为减函数，所以f(a)>f(1)=1+ =3,即a+2b的取值范围是(3,+∞).答案选C。
　　二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.请将答案填在答题卡对应题号的位置上，一题两空的题，其答案按先后次序填写.答错位置，书写不清，模棱两可均不得分
　　11．（2010年高考山东卷理科14）若对任意 ， 恒成立，则 的取值范围是             ．
　　【答案】
　　【解析】因为 ，所以 （当且仅当 时取等号），所以有
　　，即 的最大值为 ，故 。
　　【命题意图】本题考查了分式不等式恒成立问题以及参数问题的求解，考查了同学们的转化能力。属中档题。
　　12． 的展开式中的常数项为_________.
　　【答案】-5
　　13、如图所示，直线 与双曲线 ： 的渐近线交于 ， 两点，记 ， .任取双曲线 上的点 ，若 （ 、 ），则 、 满足的一个等式是          ；
　　【解析】设 ，易知 ， ，由 ，得 ，即 ，∴ ， ，代入 整理得 ，故答案为： .
　　【命题意图】本题考查双曲线的几何性质，向量的坐标运算，平面向量基本定理等知识，把向量与解几结合命题，是全国各地高考题中的主流趋势.
　　14、以集合  的子集中选出4个不同的子集，需同时满足以下两个条件：
　　（1） ， 都要选出；
　　（2）对选出的任意两个子集A和B，必有 或 .那么共有________种不同的选法.
　　【解析】由于 ， 都要选出，又 或 ，则对选出的子集A中的元素个数分类：A是元子集，则满足条件的子集A和B共有 种；A是二元子集，则满足条件的子集A和B共有 种；故共有36种不同的选法。
　　【命题意图】本题考查子集的有关概念，两个计数原理的灵活应用.注意到条件“对选出的任意两个子集A和B，必有 或 ”，所以分类时A中元素个数最多2个，这是解题的突破口.
　　15.(考生注意:请在下列二题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题评分)
　　（1），(几何证明选做题)如图,已知 的两条直角边 的长分别为 ,以 为直径的圆与 交于点 ,则 .
　　【解析】（方法一）∵易知 ，又由切割线定理得 ，∴ .
　　于是， .故所求 .
　　（方法二）连 ，∵易知 是 斜边上的高，∴由射影定理得 ，
　　.故所求 .
　　【试题评析】本题主要考查平面几何中的直线与圆的综合，要注意有关定理的灵活运用.
　　（2）(坐标系与参数方程选做题).已知圆C的圆心是直线 （为参数）与 轴的交点，且圆C与直线 相切。则圆C的方程为                  。
　　【答案】
　　【解析】令y=0得t=-1，所以直线 （为参数）与 轴的交点为（-1，0），因为直线与圆相切，所以圆心到直线的距离等于半径，即 ，故圆C的方程为 。
　　【命题意图】本题考查直线的参数方程、圆的方程、直线与圆的位置关系等基础知识。
　　三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
　　16．（本小题满分12分）
　　设 是不等式 的解集，整数 .
　　（Ⅰ）记使得“ 成立的有序数组 ”为事件A，试列举A包含的基本事件；
　　（Ⅱ）设 ，求 的分布列及其数学期望 .
　　命题意图．本小题主要考查概率与统计、不等式等基础知识，考查运算求解能力、应用意识，考查分类与整合思想、必然与或然思想、化归与转化思想，满分12分．
　　解：（Ⅰ）由 得 ，即 ．
　　由于 且 ，所以A包含的基本事件为：
　　．
　　17．（本小题满分12分）
　　. ，轮船位于港口O北偏西 且与该港口相距20海里的A处，并以30海里/小时的航行速度沿正东方向匀速行驶.假设该小船沿直线方向以 海里/小时的航行速度匀速行驶，经过t小时与轮船相遇.
　　（1）若希望相遇时小艇的航行距离最小，则小艇航行速度的大小应为多少？
　　（2）假设小艇的最高航行速度只能达到30海里/小时，试设计航行方案（即确定航行方向与航行速度的大小），使得小艇能以最短时间与轮船相遇，并说明理由.
　　命题意图：本小题主要考察解三角形、二次函数等基础知识，考查推理论证能力、抽象概括能力、运算求解能力、应用意识，考查函数与方程思想、树形结合思想、化归与转化思想、分类与整合思想，满分13分.
　　解法一：
　　即，小艇以 海里/小时的速度航行，相遇时小艇的航行距离最小.
　　（Ⅱ）设小艇与轮船在 处相遇，则
　　故
　　∵
　　∴
　　即
　　又 时，
　　此时，轮船航行时间
　　即，小艇以 海里/小时的速度航行，相遇时小艇的航行距离最小.
　　（Ⅱ）猜想 时，小艇能以最短时间与轮船在 处相遇，此时
　　又 ，所以
　　据此可设计航行方案如下
　　航行方向为北偏东 ，航行速度的大小为30海里/小时，这样，小艇能以最短时间与轮船相遇.
　　证明如下：
　　如图，由（Ⅰ）得OC= ,
　　故 ,且对于线段 上任意点P,
　　有 而小艇的最高航行速度只能达到30海里/小时，
　　故小艇与轮船不可能在A，C之间（包含C）的任意位置相遇.
　　设 ,则在 中，
　　由于从出发到相遇，轮船与小艇所需要的时间分别为
　　所以，
　　于是，当 时， 取得最小值，且最小值为
　　解法三：
　　（Ⅰ）同解法一或解法二
　　（Ⅱ）设小艇与轮船在B处相遇，依据题意得：
　　（1）  若 ，则由
　　=
　　得
　　从而， ，
　　① 当 时，[来源: http://wx.jtyjy.com/]
　　令 ，则 ， ，当且仅当 即 时等号成立.
　　② 当 时，同理可得 .
　　由①、②得，当 时，
　　（2） 若 则
　　综合（1）、（2）可知，当 时，t取最小值，且最小值等于
　　此时，在 中， ,故可设计航行方案如下：
　　航行方向为北偏东30°，航行速度为30海里/小时，小艇能以最短时间与轮船相遇.
　　18.（本小题满分12分）
　　如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是矩形，PA  ⊥平面ABCD,AP=AB=2,BC= ，E，F分别是AD，PC的中点.
　　（Ⅰ）证明：PC  ⊥平面BEF；
　　（Ⅱ）求平面BEF与平面BAP夹角的大小.
　　命题意图．本小题主要考查直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系，以及几何体的体积、几何概型等基础知识；考查空间想象能力、推理论证能力、运算求解能力；考查数形结合思想、化归与转化思想、必然与或然思想．满分12分．
　　解法一:  （Ⅰ）如图，以A为坐标原点，AB，AD，AP所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系.
　　∵AP=AB=2,BC=AD= ,四边形ABCD是矩形.
　　∴A，B，C，D，P的坐标为A(0,0,0)，B(2,0,0)，C(2,  ,0)，D(0， ，0)，P(0,0,2)，
　　又E，F分别是AD，PC的中点，
　　∴E(0， ，0)，F(1， ，1).
　　∴ =（2， ，-2） =（-1， ，1） =（1,0, 1），
　　∴ • =-2+4-2=0， • =2+0-2=0，
　　∴ ⊥ ， ⊥ ，
　　∴PC⊥BF，PC⊥EF，BF ∩  EF=F,
　　∴PC⊥平面BEF，
　　（II）由（I）知平面BEF的法向量 ,
　　平面BAP 的法向量 ,
　　∴ .     设平面BEF与平面BAP的夹角为 θ ，
　　则 ,
　　∴ θ=45°， ∴ 平面BEF与平面BAP的夹角为45°.
　　解法二  （I）连接PE，EC在 和 中.
　　PA=AB=CD, AE=DE,
　　∴ PE= CE, 即 △PEC 是等腰三角形，
　　又F是PC 的中点，∴EF⊥PC,
　　又 ，F是PC 的中点，
　　∴  BF⊥PC.
　　又 ,∴ .
　　（II）∵ ∴ ,
　　又ABCD是矩形，∴AB BC
　　∴BC 平面BAP,BC PB,
　　又由（Ⅰ）知PC 平面BEF,
　　∴ 直线PC与BC的夹角即为平面BEF与平面BAP的夹角，
　　在 中， ∴
　　所以平面BEF与平面BAP的夹角为45。
　　19.已知等差数列 满足： ， ， 的前n项和为 ．
　　（Ⅰ）求 及 ；
　　（Ⅱ）令bn= (n N*)，求数列 的前n项和 ．（本题12分）
　　【命题意图】本题考查等差数列的通项公式与前n项和公式的应用、裂项法求数列的和，熟练数列的基础知识是解答好本类题目的关键。
　　【解析】（Ⅰ）设等差数列 的公差为d，因为 ， ，所以有
　　，解得 ，
　　所以 ； = = 。
　　（Ⅱ）由（Ⅰ）知 ，所以bn= =  = ，
　　所以 = =  ，
　　即数列 的前n项和 = 。
　　20．（本小题满分13分）
　　已知中心在坐标原点O的椭圆C经过点A（2，3），且点F（2，0）为其右焦点.
　　（Ⅰ）求椭圆C的方程；
　　（Ⅱ）是否存在平行于OA的直线，使得直线与椭圆C有公共点，且直线OA与的距离等于4？若存在，求出直线的方程；若不存在，请说明理由.
　　命题意图：本小题主要考查直线、椭圆等基础知识，考查运算求解能力、推理论证能力，考查函数与方程思想、数形结合思想、化归与转化思想．满分13分．
　　解法一：
　　（Ⅰ）依题意，可设椭圆C的方程为 ，
　　且可知左焦点为 ．
　　从而有 解得
　　又 ，所以 ，故椭圆C的方程为 ．
　　解法二：
　　（Ⅰ）依题意，可设椭圆C的方程为 ，且有：
　　解得 或 （舍去）．从而 ．所以椭圆C的方程为 ．
　　（Ⅱ）同解法一．
　　21、(本小题满分14分)
　　已知函数 ，g（x）= ， .[来源: http://wx.jtyjy.com/ HTTP://WX.JTYJY.COM/]
　　（Ⅰ）若曲线 与曲线 相交，且在交点处有相同的切线，求a的值及该切线的方程；[来源: http://wx.jtyjy.com/ HTTP://WX.JTYJY.COM/]
　　（Ⅱ）设函数 ,当 存在最小值时，求其最小值 的解析式；
　　（Ⅲ）对（Ⅱ）中的 和任意的 时，证明：
　　命题意图．本小题主要考查函数、导数等基础知识，考察抽象概括能力、推理论证能力、运算求解能力、考查函数与方程思想，数形结合思想、化归与转化思想、特殊与一般思想.满分14分.
　　解： （Ⅰ） =  , = (x>0),
　　由已知得   解得a= ，x=e2,
　　∴ 两条曲线交点的坐标为（e2,e）   切线的斜率为
　　∴ 切线的方程为
　　（Ⅱ）由条件知
　　∴
　　（1） 当a.>0时，令 解得 ，
　　∴    当0 < <  时， ， 在（0， ）上递减；
　　当x> 时， ， 在 上递增.
　　（iii）由（Ⅱ）知
　　对任意的
　　①
　　②
　　③
　　故由①，②，③得