约2980字。
《数学归纳法及其应用》课堂实录
一、引入新课
师:四边形、五边形、六边形分别有多少条对角线?你是怎样考虑的?
[提出问题,让学生在解答的过程中发现规律.]
生:四边形、五边形、六边形分别有两条对角线,五条对角线和九条对角线,以六边形为例,每个顶点可引3条对角线,六个顶点可引18条对角线,但因每条对角线都计算了两次,所以六边形实际有9条对角线.
师:n边形(n≥4)有多少条对角线?为什么?
[由特例到一般问题的提出,符合由特殊到一般,由具体到抽象的认识过程.]
生:n边形有条对角线,因为每个顶点可引n-3条对角线,所以n个顶点可引n(n-3)条,但每条对角线都计算了两次,故n边形实际有条对角线.
师:这一公式适合四边形、五边形、六边形吗?
[由一般再回到特殊,特例的正确性提高了学生探索问题的积极性,增强了猜想的信心.]
生:适合.
师:观察等差数列的前几项:
a1=a1+0d
a2=a1+1d
a3=a1+2d
a4=a1+3d
你发现了什么规律?试用a1,n和d表示an.
生:an=a1+(n-1)d
师:像这种由一系列特殊事例得到一般结论的推理方法,叫做归纳法,用归纳法可以帮助我们从特殊事例中发现一般规律,但是,由归纳法得出的一般结论并不一定可靠.例如,一个数列的通项公式是an=(n2-5n+5)2请算出a1,a2,a3,a4你能得到什么结论?
生:由a1=1,a2=1,a3=1,a4=1可知an=1
师:由an=(n2-5n+5)2计算a5.
[由a5=25≠1,否定了学生的猜想,举出反例是否定命题正确性的简单而基本的方法.]
师:由归纳法得到的一般结论是不一定可靠的.法国数学家费尔马曾由n=0,1,2,3,4得到+1均为质数而推测:n为非负整数时,+1都是质数,但这一结论是错误的.因为数学家欧拉发现,n=5时+1是一个合数:+1=4294967297=641×6700417.
[数学史例使学生兴趣盎然,学习积极性大为提高,至此,归纳法作为一种发现规律的推理方法的数学已告结束.]
师:既然由归纳法得到的结论不一定可靠,那么,就必须想办法对所得到的结论进行证明,对于由归纳法得到的某些与自然数有关的命题P(n),能否通过一一验证的办法来加以证明呢?
生:不能.因为这类命题中所涉及的自然数有无限多个,所以无法一个一个加以验证.
[新问题引导学生思考:既然对于P(n0)、P(n0+1)、P(n0+2)……的正确性无法一一验证,那么如何证明P(n)(n≥n0)的正确性呢?至此,数学归纳法的引入水到渠成.]
二、新课
师:我们将采用递推的办法解决这个问题.同学们在电视中可能看到过“多米诺”骨牌的游戏,由于骨牌之间特殊的排列方法,只要推到第一块骨牌,第二块就会自己倒下,接着第三块就会倒下,第四块也会倒下……如此传递下去,所有的骨牌都会倒下,这种传递相推的方法,就是递推.
从一个袋子里第一次摸出的是一个白球,接着,如果我们有这样的一个保证:“当你第一次摸出的是白球,则下一次摸出的一定也是白球”,能否断定这个袋子里装的全是白球?
生:能断定.
[为数学归纳法的两个步骤提供具体生动的模型,帮助学生理解数学归纳法的实质.]
师:要研究关于自然数的命题P(n),我们先来看自然数有什么性质,自然数数列本身具有递推性质:第一个数是1,如果知道了一个数,就可以知道下一个数.有了这两条,所有自然数尽管无限多,但我们就可全部知道了.类似地,我们可采用下面的方法来证明有关连续自然数的命题P(n),先验证n取第一个值n0时命题正确;再证明如果n=k(k≥n0)时命题正确,则n=k+1时命题正确,只要有了这两条,就可断定对从n0开始的所有自然数,命题正确,这就是数学归纳法的基本思想.
[先通俗了解数学归纳法的基本思想,对深刻理解数学归纳法的实质至关重要.]
师:用数学归纳法证明一个与自然数有关的命题P(n)的步骤是:
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