选修4-5不等式选讲导学学案（共14份）
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选修4-5不等式选讲导学学案
【数学】选修4-5学案 §1.1.1不等式基本性质.doc
【数学】选修4-5学案 §1.1.2基本不等式(1).doc
【数学】选修4-5学案 §1.1.3基本不等式(2).doc
【数学】选修4-5学案 §1.2.1绝对值基本不等式.doc
【数学】选修4-5学案 §1.2.2含绝对值不等式的解法.doc
【数学】选修4-5学案 §2.1.1不等式的证明(1).doc
【数学】选修4-5学案 §2.1.2不等式的证明(2).doc
【数学】选修4-5学案 §2.1.3不等式的证明(3).doc
【数学】选修4-5学案 §3.1.1柯西不等式(1).doc
【数学】选修4-5学案 §3.1.2柯西不等式(2).doc
【数学】选修4-5学案 §3.1.3柯西不等式(3).doc
【数学】选修4-5学案 §3.2.1排序不等式(1).doc
【数学】选修4-5学案 §4.1.1数学归纳法证明不等式(1).doc
【数学】选修4-5学案 §4.1.2数学归纳法证明不等式(2).doc
选修4-5学案 §1.1.1不等式的基本性质 姓名
☆学习目标： 1. 理解并掌握不等式的性质，能灵活运用实数的性质;
2. 掌握比较两个实数大小的一般步骤
☻知识情景：
1．不等关系是自然界中存在着的基本数学关系。
10.《列子•汤问》中脍炙人口的“两小儿辩日”：“远者小而近者大”、“近者热而远者凉”，
就从侧面表明了现实世界中不等关系的广泛存在；
20.日常生活中息息相关的问题，如“自来水管的直截面为什么做成圆的，而不做成方的呢?”、
“电灯挂在写字台上方怎样的高度才能使照明最亮？”、“用一块正方形白铁皮，在它的四
个角各剪去一个小正方形，制成一个无盖的盒子。要使制成的盒子的容积最大，应当剪去
多大的小正方形？”等，都属于不等关系问题，需要借助不等式的相关知识才能得到解决。
30.而且，不等式在数学研究中也起着相当重要的作用。
现实世界中的量，不等是普遍的、绝对的，而相等则是局部的、相对的。还可从引言
中实际问题出发，说明不等式相关知识的地位和作用。
本专题将介绍一些重要的不等式（含有绝对值的不等式、柯西不等式、贝努利不等式、
排序不等式等）和它们的证明，数学归纳法和它的简单应用等。
2. 实数的运算性质与大小顺序的关系：
数轴上右边的点表示的数总 左边的点所表示的数，可知：
结论：要比较两个实数的大小，只要考察它们的差的符号即可。
3. 不等式的基本性质：
10. 对称性： ；
20. 传递性： ；
30. 同加性： ；
推论：同加性： ；
30. 同乘性： ， ；
推论1：同乘性： ；
推论2：乘方性： ；
推论3：开方性： ；
推论4：可倒性： .
☆比较两数大小的一般方法：比差法与比商法(两正数)．
☆案例学习：
例1已知 ，求证： ．
例2若 ， ，则下列命题中能成立的个数是( )
； ； ；
1 2 3 4.
例3 若 ，试比较 与 的大小；
设 ， ，且 ，试比较 与 的大小.
例4 若 满足 ≤ ≤ ， ≤ ≤ ，求 的取值范围.选修4-5学案 §1.2.2含绝对值不等式的解法 姓名
☆学习目标： 1. 掌握一些简单的含绝对值的不等式的解法;
2. 理解含绝对值不等式的解法思想：去掉绝对值符号，等价转化
☻知识情景：
1．绝对值的定义： ，
2. 绝对值的几何意义：
10. 实数 的绝对值 ，表示数轴上坐标为 的点A
20. 两个实数 ，它们在数轴上对应的点分别为 ，
那么 的几何意义是 .
3.绝对值三角不等式：
① 时, 如下图, 易得： .
② 时, 如下图, 易得： .
③ 时,显然有： . 综上,得
定理1 如果 , 那么 . 当且仅当 时, 等号成立.
定理2 如果 , 那么 . 当且仅当 时,等号成立.
☻建构新知：含绝对值不等式的解法
1．设 为正数, 根据绝对值的意义，不等式 的解集是
它的几何意义就是数轴上 的点的集合是开区间 ，如图所示.
2．设 为正数, 根据绝对值的意义，不等式 的解集是
它的几何意义就是数轴上 的点的集合是开区间 ，如图所示.
3．设 为正数, 则10. ;选修4-5学案 §3.1.2柯西不等式(2) 姓名
☆学习目标： 1. 认识二维柯西不等式的几种形式，进一步理解它们的几何意义;
2. 会证明二维柯西不等式及向量形式
☻知识情景：
1. 如果 , 那么 ，
另一方面，有
问题：
2. 柯西不等式的证明：
证法10.（综合法）
当且仅当 时, 等号成立.
证法20.（构造法） 设 ，
∵ 0 恒成立.
∴ . 得证.
证法30.（向量法）设向量 ， ， 则 ， .
∵ .
∴ . 得证.
3. 柯西不等式的变式：
变式10. 或 ；
变式20. 若 ，则 ；
变式30. 若 ，则 .
变式40.（三角形不等式）设 为任意实数，则：
☻新知建构：
前面的柯西不等式，称二维形式的柯西不等式. 意味着还有多维形式的柯西不等式.
1.三维形式的柯西不等式：若 ，
则 .
当且仅当 时, 等号成立.
2. 柯西不等式的一般形式：
设 为大于1的自然数， ( 1,2,…, )，则： ，
其中等号当且仅当 时成立(当 时，约定 ， 1,2,…, ).
3. 柯西不等式的变式：
变式1 设 则： .
等号成立当且仅当
变式2 设 则： .
等号成立当且仅当 .
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