《不定方程》教案
　　所谓不定方程，是指未知数的个数多于方程个数的方程或方程组。
　　基础知识
　　1．不定方程问题的常见类型：
　　（1）求不定方程的解；（2）判定不定方程是否有解；（3）判定不定方程的解的个数。
　　2．解不定方程问题常用的解法：
　　（1）代数恒等变形：如因式分解、配方、换元等、奇偶分析法、特殊模法；
　　（2）不等式估算法：利用不等式等方法，确定出方程中某些变量的范围，进而求解；
　　（3）同余法：对等式两边取特殊的模（如奇偶分析），缩小变量的范围或性质，得出不定方程的整数解或判定其无解；
　　（4）构造法：构造出符合要求的特解，或构造一个求解的递推式，证明方程有无穷多解；
　　（5）无穷递推法。
　　以下给出几个关于特殊方程的求解定理：
　　（一）二元一次不定方程（组）
　　定义1.形如 (  不同时为零)的方程称为二元一次不定方程。
　　定理1  若二元一次不定方程 ，a和b的最大公约数不能整除c，则方程没有整数解。
　　由此，当a,b的最大公约数能够整除c时，可以用这个最大公约数去除方程两边，从而使x和y的系数的最大公约数为1，这样，为了解二元一次不定方程，只要考虑x,y的系数的最大公约数是1（即这两个系数互质）的情形就可以了，一般地，有
　　定理2  若整数a,b互素，则方程 有整数时，同时方程 也有整数解。若 是方程 的一个整数解，则 是方程 的一个整数解,方程的一切解都可以表示成
　　定理3. 元一次不定方程 ，( )有解的充要条件是 .
　　方法与技巧：
　　1．解二元一次不定方程通常先判定方程有无解。若有解，可先求 一个特解，从而写出通解。当不定方程系数不大时，有时可以通过观察法求得其解，即引入变量，逐渐减小系数，直到容易得其特解为止；
　　2．解 元一次不定方程 时，可先顺次求出 ，
　　……， .若   ，则方程无解；若 | ，则方程有解，作方程组：
　　求出最后一个方程的一切解，然后把 的每一个值代入倒数第二个方程，求出它的一切解，这样下去即可得方程的一切解。
　　3． 个 元一次不定方程组成的方程组，其中 ，可以消去 个未知数，从而消去了 个不定方程，将方程组转化为一个 元的一次不定方程。

　　《不定方程》强化训练题选
　　1．  设a与b是正整数，(a, b) = 1，则任何大于ab  a  b的整数n都可以表示成n = ax  by的形式，其中x与y是非负整数，但是n = ab  a  b不能表示成这种形式。
　　解  (ⅰ)  由定理2，方程
　　ax  by = n                       (11)
　　的解具有
　　， tZ                  (12)
　　的形式，其中x0与y0满足方程(11)。
　　由假设条件n > ab  a  b及式(11)与式(12)，有
　　ax = n  by = n  b(y0  at) > ab  a  b  b(y0  at)。      (13)
　　取整数t，使得
　　0  y = y0  at  a  1，
　　则由式(13)得到
　　ax > ab  a  b  b(a  1) = a，
　　x > 1，x  0，
　　即n = ax  by，x  0，y  0。
　　(ⅱ)  设有x  0，y  0，使得
　　ax  by = ab  a  b，                  (14)
　　则
　　a(x  1)  b(y  1) = ab。                 (15)
　　所以ab(y  1)。但是(a, b) = 1，于是必有
　　ay  1，y  1  a。
　　同理可以证明x  1  b，从而
　　a(x  1)  b(y  1)  2ab，
　　这与式(15)矛盾，所以式(14)是不可能的。
　　2.  设a，b，c是整数，(a, b) = 1，则在直线ax  by = c上，任何一个长度大于 的线段上至少有一个点的坐标都是整数。
　　解  由定理2，直线ax  by = c上的坐标都是整数的点(xt, yt)的坐标是
　　， tZ，
　　其中(x0, y0)是直线ax  by = c上的坐标都是整数的点，由定理1，这样的点是存在的。
　　对于任意的tZ，记Pt是以(xt, yt)为坐标的点，则Pt  1与Pt 之间的距离
　　。
　　这说明，两个“相邻的”坐标是整数的点的距离是 ，从而得出所求之结论。