2010年全国初中数学联赛江西省初赛试题

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  2010年全国初中数学联赛江西省初赛试题
  第 一 试
  一. 选择题(每小题 分,共42分)
  、化简 的结果是(   ).
  、 ;     、 ;      、 ;    、 .
  答案:
  解: , ,
  ,因此原式 .
  、 是一个等腰直角三角形, 是其内接正方形, 是正方形的对角线交点;那么,由图中的线段所构成的三角形中相互全等的三角形的对数为(      ).
  、 ;   、 ;  、 ;  、 .
  答案: .
  解:设 ,图中所有三角形均为等腰直角三角形,其中,斜边长为 的有 个,它们组成 对全等三角形;斜边长为 的有 个,它们组成 对全等三角形;斜边长为 的有 个,它们组成 对全等三角形;共计 对.
  、设 ,且函数 与 有相同的最小值 ;
  函数 与 有相同的最大值 ;则 的值(    ).
  、必为正数;   、必为负数;  、必为 ;  、符号不能确定.
  答案: .
  解: , ,
  由 ,得   ……①
  , ;
  由 ,得   ……②
  ②-①得, ,所以   ……③,或  ……④
  若 ,则 ;
  若 ,据②④, ,即 ,矛盾!
  、若关于 的方程 没有实根,那么,必有实根的方程是(  ).
  、 ;             、 ;
  、 ;           、 .
  答案: .
  解:由方程 无实根,得其判别式Δ ,于是 ,
  方程 的判别式分别是:
  , , , ,
  显然,对于满足 的每个 值,可以确保 ,但不能保证 非负,(即使得方程 无实根的 的区间与区间 都有重叠部分,而使方程 无实根的 的区间 与区间 无重叠部分),所以 必有实根,其余方程不一定有实根.

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