北师大版（文）2017版大一轮复习讲义（教案+课件）第十二章 推理与证明、算法、复数（8份打包）
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1．归纳推理
根据一类事物中部分事物具有某种属性，推断该类事物中每一个事物都有这种属性．我们将这种推理方式称为归纳推理．简言之，归纳推理是由部分到整体、由个别到一般的推理．
归纳推理的基本模式：a、b、c∈M且a、b、c具有某属性，
结论：任意d∈M，d也具有某属性．
2．类比推理
由于两类不同对象具有某些类似的特征，在此基础上，根据一类对象的其他特征，推断另一类对象也具有类似的其他特征，我们把这种推理过程称为类比推理．简言之，类比推理是两类事物特征之间的推理．
类比推理的基本模式：A：具有属性a，b，c，d；
B：具有属性a′，b′，c′；
结论：B具有属性d′.
(a，b，c，d与a′，b′，c′，d′相似或相同)
3．归纳推理和类比推理是最常见的合情推理，合情推理的结果不一定正确．
4．演绎推理是根据已知的事实和正确的结论，按照严格的逻辑法则得到新结论的推理过程．
【思考辨析】
判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)归纳推理得到的结论不一定正确，类比推理得到的结论一定正确．( × )
(2)由平面三角形的性质推测空间四面体的性质，这是一种合情推理．( √ )
(3)在类比时，平面中的三角形与空间中的平行六面体作为类比对象较为合适．( × )
(4)“所有3的倍数都是9的倍数，某数m是3的倍数，则m一定是9的倍数”，这是三段论推理，但其结论是错误的．( √ )
(5)一个数列的前三项是1,2,3，那么这个数列的通项公式是an＝n(n∈N＋)．( × )
(6)在演绎推理中，只要符合演绎推理的形式，结论就一定正确．( × )
1．观察下列各式：a＋b＝1，a2＋b2＝3，a3＋b3＝4，a4＋b4＝7，a5＋b5＝11，…，则a10＋b10等于( )
A．28 B．76
C．123 D．199
答案 C
解析 从给出的式子特点观察可推知，等式右端的值，从第三项开始，后一个式子的右端值等于它前面两个式子右端值的和，依据此规律，a10＋b10＝123.
2．在平面上，若两个正三角形的边长的比为1∶2，则它们的面积比为1∶4，类似地，在空间中，若两个正四面体的棱长比为1∶2，则它们的体积比为__________．
答案 1∶8
解析 ∵两个正三角形是相似的三角形，∴它们的面积之比是相似比的平方．同理，两个正四面体是两个相似几何体，体积之比为相似比的立方，∴它们的体积比为1∶8.
3．(教材改编)在等差数列{an}中，若a10＝0，则有a1＋a2＋…＋an＝a1＋a2＋…＋a19－n (n<19，n∈N＋)成立，类比上述性质，在等比数列{bn}中，若b9＝1，则b1b2b3b4…bn＝________________.
答案 b1b2b3b4…b17－n (n<17，n∈N＋)
4．(2014•福建)已知集合{a，b，c}＝{0,1,2}，且下列三个关系：①a≠2，②b＝2，③c≠0有且只有一个正确，则100a＋10b＋c＝________.
答案 201
1．复数的有关概念
(1)定义：形如a＋bi(a，b是实数，i是虚数单位)的数叫作复数，其中a叫作实部，b叫作虚部．
(2)分类：
满足条件(a，b为实数)
复数的分类 a＋bi为实数⇔b＝0
a＋bi为虚数⇔b≠0
a＋bi为纯虚数⇔a＝0且b≠0
(3)复数相等：a＋bi＝c＋di⇔a＝c且b＝d(a，b，c，d∈R)．
(4)共轭复数：a＋bi与c＋di共轭⇔a＝c，b＝－d(a，b，c，d∈R)．
(5)模：向量OZ→的模叫作复数z＝a＋bi的模，记作|z|，即|z|＝a2＋b2(a，b∈R)．
2．复数的几何意义
复数z＝a＋bi与复平面内的点Z(a，b)及平面向量OZ→＝(a，b)(a，b∈R)是一一对应关系．
3．复数的运算
(1)运算法则：设z1＝a＋bi，z2＝c＋di，a，b，c，d∈R
(2)几何意义：复数加减法可按向量的平行四边形或三角形法则进行．
如图给出的平行四边形OZ1ZZ2可以直观地反映出复数加减法的几何意义，即OZ→＝OZ1→＋OZ2→，Z1Z2→＝OZ2→－OZ1→.
【思考辨析】
判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)方程x2＋x＋1＝0没有解．( × )
(2)复数z＝a＋bi(a，b∈R)中，虚部为bi.( × )
(3)复数中有相等复数的概念，因此复数可以比较大小．( × )
(4)原点是实轴与虚轴的交点．( √ )
(5)复数的模实质上就是复平面内复数对应的点到原点的距离，也就是复数对应的向量的模．( √ )
1．(2015•安徽)设i是虚数单位，则复数(1－i)(1＋2i)等于( )
A．3＋3i B．－1＋3i
C．3＋i D．－1＋i
答案 C
解析 (1－i)(1＋2i)＝1＋2i－i－2i2＝1＋i＋2＝3＋i，故选C.
2．(2015•课标全国Ⅰ)已知复数z满足(z－1)i＝1＋i，则z等于( )
A．－2－i B．－2＋i C．2－i D．2＋i
答案 C
解析 由(z－1)i＝1＋i，两边同乘以－i，则有z－1＝1－i，所以z＝2－i.
3．在复平面内，复数6＋5i，－2＋3i对应的点分别为A，B.若C为线段AB的中点，则点C对应的复数是( )
A．4＋8i B．8＋2i C．2＋4i D．4＋i
答案 C
解析 ∵A(6,5)，B(－2,3)，∴线段AB的中点C(2,4)，
则点C对应的复数为z＝2＋4i.
4．已知i是虚数单位，若a＋bi1＋i＝2＋i (a，b∈R)，则ab＝________.
答案 3
解析 由a＋bi1＋i＝2＋i，得a＋bi＝1＋3i，所以a＝1，b＝3，ab＝3.
5．(教材改编)已知(1＋2i)z＝4＋3i，则z＝________.
答案 2＋i
解析 ∵z＝4＋3i1＋2i＝(4＋3i)(1－2i)(1＋2i)(1－2i)＝10－5i5＝2－i，
∴z＝2＋i.
题型一 复数的概念
例1 (1)设i是虚数单位．若复数z＝a－103－i(a∈R)是纯虚数，则a的值为( )
A．－3 B．－1 C．1 D．3
(2)已知a∈R，复数z1＝2＋ai，z2＝1－2i，若z1z2为纯虚数，则复数z1z2的虚部为( )
A．1 B．i C.25 D．0
(3)若z1＝(m2＋m＋1)＋(m2＋m－4)i(m∈R)，z2＝3－2i，则“m＝1”是“z1＝z2”的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分又不必要条件
答案 (1)D (2)A (3)A
解析 (1)z＝a－103－i＝a－(3＋i)＝(a－3)－i，由a∈R，
且z＝a－103－i为纯虚数知a＝3.
(2)由z1z2＝2＋ai1－2i＝(2＋ai)(1＋2i)5＝2－2a5＋4＋a5i是纯虚数，得a＝1，此时z1z2＝i，其虚部为1.
(3)由m2＋m＋1＝3，m2＋m－4＝－2，解得m＝－2或m＝1，
所以“m＝1”是“z1＝z2”的充分不必要条件．
引申探究
1．对本例(1)中的复数z，若|z|＝10，求a的值．
解 若|z|＝10，则(a－3)2＋1＝10，
∴|a－3|＝3，∴a＝0或a＝6.
2．在本例(2)中，若z1z2为实数，则a＝________.
答案 －4
解析 若z1z2为实数，则4＋a5＝0.∴a＝－4.
思维升华 解决复数概念问题的方法及注意事项
(1)复数的分类及对应点的位置都可以转化为复数的实部与虚部应该满足的条件问题，只需把复数化为代数形式，列出实部和虚部满足的方程(不等式)组即可．
(2)解题时一定要先看复数是否为a＋bi(a，b∈R)的形式，
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