2016版《步步高》高考数学大二轮总复习与增分策略（全国通用，理科）配套课件+配套文档：专题八 数学思想方法（2份打包）
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高考数学以能力立意，一是考查数学的基础知识，基本技能；二是考查基本数学思想方法，考查数学思维的深度、广度和宽度，数学思想方法是指从数学的角度来认识、处理和解决问题，是数学意识，是数学技能的升华和提高，中学数学思想主要有函数与方程思想、数形结合思想、分类与整合思想、化归和转化思想．
(一)函数与方程思想
函数思想，就是用函数与变量去思考问题
分析和研究数学中的数量关系，建立函数关系或构造函数，运用函数的图象和性质去分析问题、转化问题，从而使问题获得解决的数学思想．
方程的思想，就是分析数学问题中变量间的等量关系，建立方程或方程组，或者构造方程，通过解方程或方程组，或者运用方程的性质去分析、转化问题，使问题获得解决的数学思想．
例1 (1)(2014•湖南)若0<x1<x2<1，则( )
A．e －e >ln x2－ln x1
B．e －e <ln x2－ln x1
C．x2e >x1e
D．x2e <x1e
(2)若将函数f(x)＝sin 2x＋cos 2x的图象向右平移φ个单位，所得图象关于y轴对称，则φ的最小正值是____．
思维升华 函数与方程思想在解题中的应用
(1)函数与不等式的相互转化，对函数y＝f(x)，当y>0时，就化为不等式f(x)>0，借助于函数的图象和性质可解决有关问题，而研究函数的性质也离不开不等式．
(2)数列的通项与前n项和是自变量为正整数的函数，用函数的观点去处理数列问题十分重要．
(3)解析几何中的许多问题，需要通过解二元方程组才能解决．这都涉及二次方程与二次函数有关理论．
(4)立体几何中有关线段、角、面积、体积的计算，经常需要运用列方程或建立函数表达式的方法加以解决．
跟踪演练1 (1)(2015•淄博实验中学诊断)若函数f(x)在R上可导，且满足f(x)<xf′(x)，则( )
A．2f(1)<f(2) B．2f(1)>f(2)
C．2f(1)＝f(2) D．f(1)＝f(2)
(2)如图是函数y＝Asin(ωx＋φ)(其中A>0，ω>0，－π<φ<π)在一个周期内的图象，则此函数的解析式是( )
A．y＝2sin(2x＋π3)
B．y＝2sin(2x＋2π3)
C．y＝2sin(x2－π3)
D．y＝2sin(2x－π3)
(二)数形结合思想
数形结合思想包含“以形助数”和“以数辅形”两个方面，其应用大致可以分为两种情形：一是借助形的生动性和直观性来阐明数形之间的联系，即以形作为手段，数作为目的，比如应用函数的图象来直观地说明函数的性质；二是借助于数的精确性和规范严密性来阐明形的某些属性，即以数作为手段，形作为目的，如应用曲线的方程来精确地阐明曲线的几何性质．
例2 (1)(2014•山东)已知函数f(x)＝|x－2|＋1，g(x)＝kx，若方程f(x)＝g(x)有两个不相等的实根，则实数k的取值范围是( )
A．(0，12) B．(12，1)
C．(1,2) D．(2，＋∞)
(2)若实数x、y满足x－y＋1≤0，x>0，y≤2，则yx的最小值是____．
思维升华 数形结合思想在解题中的应用
(1)构建函数模型并结合其图象求参数的取值范围或解不等式．
(2)构建函数模型并结合其图象研究方程根或函数的零点的范围．
(3)构建解析几何模型求最值或范围．
(4)构建函数模型并结合其图象研究量与量之间的大小关系．
跟踪演练2 (1)已知奇函数f(x)的定义域是{x|x≠0，x∈R}，且在(0，＋∞)上单调递增，若f(1)＝0，则满足x•f(x)<0的x的取值范围是___________________________________．
(2)已知P是直线l：3x＋4y＋8＝0上的动点，PA、PB是圆x2＋y2－2x－2y＋1＝0的两条切线，A、B是切点，C是圆心，则四边形PACB面积的最小值为________．
(三)分类与整合思想
分类与整合思想是将一个较复杂的数学问题分解(或分割)成若干个基础性问题，通过对基础性问题的解答来实现解决原问题的思想策略．对问题实行分类与整合，分类标准等于增加一个已知条件，实现了有效增设，将大问题(或综合性问题)分解为小问题(或基础性问题)，优化解题思路，降低问题难度；分类研究后还要对讨论结果进行整合．
例3 (1)(2015•山东)设函数f(x)＝3x－1，x＜1，2x，x≥1，则满足f(f(a))＝2f(a)的a的取值范围是( )
A.23，1 B．[0,1]
C.23，＋∞ D．[1, ＋∞)
(2)设F1，F2为椭圆x29＋y24＝1的两个焦点，P为椭圆上一点．已知P，F1，F2是一个直角三角形的三个顶点，且|PF1|>|PF2|，则|PF1||PF2|的值为________．
思维升华 分类与整合思想在解题中的应用
(1)由数学概念引起的分类．有的概念本身是分类的，如绝对值、直线斜率、指数函数、对数函数等．
(2)由性质、定理、公式的限制引起的分类讨论．有的定理、公式、性质是分类给出的，在不同的条件下结论不一致，如等比数列的前n项和公式、函数的单调性等．
(3)由数学运算和字母参数变化引起的分类．如除法运算中除数不为零，偶次方根为非负，对数真数与底数的限制，指数运算中底数的要求，不等式两边同乘以一个正数、负数，三角函数的定义域等．
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