2015高中数学北师大版必修五《正弦定理》
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1.了解现实世界和日常生活中存在的不等关系.
2.了解不等式的意义,会列不等式表示数量关系.
3.会用实数的基本理论来比较两个代数式的大小.
4.掌握作差比较大小的基本步骤,并且能灵活应用来解决一些实际问题.
咖啡馆配制两种饮料,甲种饮料每杯分别用奶粉9 g,咖啡4 g,糖3 g;乙种饮料每杯分别用奶粉4 g,咖啡5 g,糖10 g.已知每天使用原料限额为奶粉3600 g,咖啡2000 g,糖3000 g,设每天应配制甲种饮料x杯,乙种饮料y杯,你能写出满足上述条件的所有不等式吗?
问题1:上述情境中的x,y满足的不等式分别为: , , ,x≥0,y≥0.
问题2:作差法比较大小的依据是什么?
(1)a>b⇔ ;(2)a=b⇔ ;(3)a<b⇔ .
要确定任意两个正实数a,b的大小关系,只需确定它们的 与 的大小关系即可.
问题3:作商法比较大小的依据是什么?
设a,b∈R,且a>0,b>0.(1)a>b⇔ ;(2)a=b⇔ ;(3)a<b⇔ .
要确定任意两个正实数a,b的大小关系,只需确定它们的 与 的大小关系即可.
问题4:比较大小的步骤和关键点
(1)步骤:作差→ → → .
(2)关键点:变形是比较大小的关键,变形的目的在于 ,而不必考虑差的值是多少.常用方法有 、 、 、 等.作商法类似作差法.
1.某工厂在招标会上,购得甲材料x吨,乙材料y吨,若维持工厂正常生产,甲、乙两种材料总量
掌握正弦定理及其证明过程.
2.根据已知三角形的边和角,利用正弦定理解三角形.
3.能根据正弦定理及三角变换公式判断三角形的形状.
古埃及时代,尼罗河经常泛滥,古埃及人为了研究尼罗河水运行的规律,准备测量各种数据.当尼罗河涨水时,古埃及人想测量某处河面的宽度(如图),如果古埃及人通过测量得到了AB的长度,∠BAC,∠ABC的大小,那么就可以求解出河面的宽度CD,古埃及人是如何利用这些数据计算的呢?
问题1:在上面的问题中, △ABC的已知元素有 和边 .
若AB=2,∠ABC=30°,∠BAC=120°,则BC= ,CD= .
解三角形: 的过程.
问题2:正弦定理:在一个三角形中,各边和它所对的角的正弦的比相等,即 .
问题3:正弦定理的拓展:
①a∶b∶c= ;
②设R为△ABC外接圆的半径,则 = = = .
问题4:在△ABC中,已知a、b和A时,解的情况如下:
A为锐角 A为钝角
或直角
图形
关系式 ① ② ③
解的个数 一解 两解 一解 一解
1.在△ABC中,下列等式总能成立的是( ).
A.acos C=ccos A B.bsin C=csin A
1.掌握正弦定理、余弦定理的内容.
2.能根据给出的已知条件,选择恰当的公式解三角形.
3.掌握三角形边角互化思想,进一步理解正弦定理、余弦定理的作用.
2013年,叙利亚内战期间,为了准确分析战场形式,美军派出侦查分队由分别位于叙利亚的两处地点C和D进行观测,测得叙利亚的两支精锐部队分别位于A和B处,美军测得的数据包含CD的长度,∠ADB,∠BDC,∠DCA,∠ACB大小,你能用学过的数学知识计算叙利亚精锐部队之间的距离吗?
问题1:若要用解三角形的知识求AB的长度,则在求解中要用 定理和 定理.
问题2:正、余弦定理的数学公式表述为:正弦定理 ;余弦定理 .余弦定理的推论用公式表示为:cos A= ;cos B= ;cos C= .
问题3:在解三角形时,正弦定理可解决两类问题:
(1)已知 ,求其他边或角;
(2)已知 ,求其他边或角.
情况(2)中结果可能有一解、两解、无解,应注意区分.
问题4:应用余弦定理及其推论可解决三类三角形问题:
(1)已知 ,求其他三个角.
(2)已知 ,求第三边和其他两个角.
(3)已知 ,求第三边.
1.在△ABC中,已知sin2B-sin2C-sin2A= sin Asin C,则角B的大小为( ).
A.150° B.30° C.120° D.60°
2.若△ABC的内角A,B,C满足6sin A=4sin B=3sin C,则cos B等于( ).
A. B. C. D.
3.在△ABC中,A=120°,c=5,a=7,则b= .
4.在锐角三角形中,b=4,c= ,且BC边上的高h=2 .
(1)求角C;
(2)求边长a.
1.体会一元二次不等式与二次函数的关系,掌握一元二次不等式的解法.
2.运用分类讨论思想解含参型的一元二次不等式.
3.解决简单一元二次不等式与函数的综合性问题.
为促进某品牌彩电的销售,厂家设计了两套降价方案.方案①:先降价x%,再降价x%(x>0);方案②:一次性降价2x%,问哪套方案降价幅度大?
问题1:一元二次不等式
一般地,含有 未知数,且未知数的最高次数为 的不等式,叫作一元二次不等式.
使某个一元二次不等式 叫作这个一元二次不等式的解.
一元二次不等式的 组成的集合,叫作这个一元二次不等式的解集.
问题2:二次函数、二次方程、二次不等式间的关系如下表,设f(x)=ax2+bx+c(a>0).
Δ=b2-4ac Δ>0 Δ=0 Δ<0
y=f(x)的
示意图
f(x)=0的根 x1,x2 x0=-
没有实数根
f(x)>0的解集 (-∞,x1)∪
(x2,+∞) (-∞,- )∪
(- ,+∞)
(-∞,+∞)
f(x)<0的解集 (x1,x2) ⌀ ⌀
问题3:解含参数的一元二次不等式的一般步骤
对字母系数分类讨论时,要注意确定分类的标准,而且分类时要不重不漏.一般方法是:
(1)当二次项系数不确定时,按二次项系数 、 、 三种
第1课时 数列的概念与简单表示法
1.了解数列的概念和几种简单的表示方法(通项公式、列表、递推公式、图像法).
2.通过对简单数列的观察与分析归纳,认识数列是反映自然的基本数学模型.
3.能简单地总结数列的规律与表示方法,理解数列与函数的关系.
(1)国际象棋的传说:在一张棋盘的第一个小格内放一粒麦子,在第二个小格内放两粒,在第三个小格内放四粒,照这样下去,每一小格都比前一小格加一倍.
(2)古语:一尺之棰,日取其半,万世不竭.
(3)童谣:一只青蛙,一张嘴,两只眼睛,四条腿;两只青蛙,两张嘴,四只眼睛,八条腿;三只青蛙,三张嘴,六只眼睛,十二条腿.
问题1:数列的定义:按 排列的一列数叫作数列.数列的项:数列中的每一个数都叫作这个 ,各项依次叫作这个数列的第1项(或首项),第2项……第n项……
通项公式:如果数列{an}的第n项an与n之间的函数关系可以用一个式子表示成 ,那么这个式子就叫作这个数列的通项公式.
问题2:数列的分类:(1)按项数分类: 和 .
(2)按数列的单调性分类: 、 及 .
(3)一个数列,如果从第2项起,有些项大于它的前一项,有些项小于它的前一项,这样的数列叫 .
1.进一步熟悉基本不等式,并会用基本不等式来解题.
3.能利用基本不等式解决实际问题.
今天我们来探究基本不等式在实际生活中的应用,我们先来看个实际例子:如图,有一张单栏的竖向张贴的海报,它的印刷面积为72 dm2(图中阴影部分),上下空白各2 dm,左右空白各1 dm,则四周空白部分面积的最小值是 dm2.
问题1:设阴影部分的高为x dm,宽为 dm,四周空白部分面积是y dm2.由题意得y=(x+4)( +2)-72=8+2(x+ )≥8+2×2 = .
当且仅当 时,取得最小值.
问题2:用基本不等式解实际应用问题的步骤
(1)先理解题意,设变量,设变量时一般把 定为函数;
(2)建立相应的 ,把实际问题抽象为 问题;
(3)在定义域内,求出函数的 ;
(4)正确写出答案.
问题3:利用基本不等式求最值时,必须保证等号能成立,否则不能用它来求最值,比如求f(x)=sin x+ ,x∈(0,π)的最值时,不能这样做:f(x)=sin x+ ≥2 =2 ,因为当x∈(0,π)时无法满足sin x= .
问题4:利用基本不等式求最值时,一定要紧扣“一正,二定,三相等”这三个条件,即每个项都是正值,和或积是定值,所有的项能同时相等.而“二定”这个条件是对不等式巧妙地进行分析、组合、凑加系数等使之变成可用基本不等式的形式,倘若要多次利用不等式求最值,还必须保证每次取“=”号的一致性.
1.在下列不等式的证明过程中,正确的是( ).
A.若a,b∈R,则 + ≥2 =2
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