约4940字。

　　数系的扩充和复数的概念
　　教学目标
　　重点:复数的概念,虚数单位 ,复数的分类(实数、虚数、纯虚数)和复数相等.复数在现代科学技术中以及在数学学科中的地位和作用.
　　难点:虚数单位 的引进以及对复数概念的理解．
　　知识点:了解引进复数的必要性;理解并掌握复数的有关概念（复数集、代数形式、实部、虚部、实数、虚数、纯虚数、复数相等）;理解虚数单位 及 与实数的运算规律
　　能力点:探寻复数的形成过程,体会引入虚数单位 和复数形式的合理性,以及等价转化思想、方程思想、分类讨论数学思想的运用.
　　教育点:通过问题情境,体会实际需求与数学内部矛盾在数系扩充过程中的作用,经历由实数系扩充到复数系的研究过程,感受人类理性思维的作用以及数与现实世界的联系.
　　自主探究点:如何运用实数与虚数单位 的加、乘运算得到复数代数形式及探索复数相等的充要条件.
　　考试点:用复数的基本概念解决简单的数学问题.
　　易错易混点:对复数代数形式的认识,及复数分类的把握.
　　拓展点:如何利用复数代数形式解题,理解复数的几何意义.
　　一、 引入新课
　　求下列方程的解:
　　．
　　学生分析各题的解: ; ; ; ; 实数集内无解.
　　通过以上五题解的探讨,学生会发现方程 在实数集中遇到了无解现象.
　　如何使方程 有解呢?类比引进 ,就可以解决方程 在有理数中无解的问题,就有必要扩充数集,今天我们来与大家一起学习“数系的扩充”.
　　【设计意图】通过类比,易引发学生的学习兴趣.使学生了解扩充数系要从引入新数开始,引出本课题．
　　二、探究新知
　　.复习已学过的数系
　　问题 :数,是数学中的基本概念.到目前为止,我们学习了哪些数集?用符号如何表示?它们之间有怎样的包含关系?用图示法可以如何表示?
　　答:自然数集、整数集、有理数集、实数集,符号分别表示为 , , , ;
　　其中它们之间的关系式:       ;
　　用文氏图表示 , , , 的关系
　　【设计意图】数集及其之间关系的回顾,特别是“图示法”的直观表示,旨在帮助学生对“数系的扩充”有个初步感受.
　　我们将一个数集连同相应的运算及结构叫做一个数系.如:自然数系、整数系、有理数系、实数系.
　　所谓“运算及结构”主要是指加法与乘法的运算律.无论在哪个数系内,都满足加法、乘法的交换律、结合律以及乘法对加法的分配律.
　　【设计意图】教材中“数系”的概念并未作过多说明,将其提前至开头,主要是解决课题中“数系”两个字的疑问,而“扩充”则成为下面研究的重点.
　　.从社会进步的角度来看数的发展
　　问题 :今天的课题是什么?从刚才这张“图示法”表示数集之间包含关系的图中也可以看出数逐步发展壮大的过程.数的概念是如何不断的发展和扩充的呢?下面跟大家一起作简单回顾．
　　最基本的数是自然数,它是全部数学的发源地,自然数的产生当初完全是古人为了计数的需要;之后,在土地测量,水利工程中发现仅有自然数显然是不够的,经常发生度量不尽的情况,于是产生了正分数,数的概念扩充到正有理数.为了刻画具有相反意义的量产生了负数,我国是认识负数最早的国家.数的概念再次扩充到有理数;古希腊人在研究正方形的边长与对角线长之间关系时,发现产生了无理数,数的概念扩充到实数.正是因为计数、度量、测量等这些原因使得数的概念经历从无到有,从有到壮大的过程.
　　问题 :由此看来,什么原因导致数的概念逐步扩充的?
　　答:实际需求.
　　【设计意图】从社会进步的角度来看数的发展,一方面让学生感受数与现实世界的联系,感悟数的概念产生于实际需求,另一方面培养学生总结、归纳概括的能力.
　　.从求解方程的角度来看数的发展
　　问题 :方程 的解是什么?方程 的解呢?
　　学生必答“ ”和“无解”,下面可以如此设计:对于方程 ,在自然数集中,解的情况如何?原因是什么?为此引入负数,数集扩充到整数集.在整数集中,方程 无解,怎么办?引入分数,数集扩充到有理数集.在有理数集中,方程 无解,为此引入无理数,数集扩充到实数集.从使得方程有解的角度来看,每一次数的概念的扩充有什么特征?
　　答:新的数集都是在原来数集的基础上“添加”了一种新的数得来的.
　　思考:如何使方程 有解呢?我们需要添加什么量呢?
　　【设计意图】从求解方程的角度来看数的发展,自然地引出了实数系还需扩充的话题.通