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共22题，约3780字。

　　空间向量与立体几何测试题
　　一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是最符合题目要求的.
　　1. 在平行六面体ABCD—A1B1C1D1中，M为AC与BD的交点，若 = ， = ， = .则下列向量中与 相等的向量是
　　A．   B．
　　C．   D．
　　1．A   = + （－ ）=－  +  + ．
　　2.已知 ，C为线段AB上一点，且 ，则C点的坐标为
　　A.  B.   C.   D. 
　　2.C
　　3.空间四边形OABC，其对角线为OB、AC，M、N分别为对边OA、BC的中点，点G在线段MN上，且 ，现用基向量 表示向量 ，则 的值分别为
　　A.   B.   
　　C.    D. 
　　3.B 
　　.
　　4.已知两平面的法向量分别为 ，则两平面所成的二面角为
　　A.  B.   C.  或  D.
　　4.C  .
　　5．已知平行六面体 中，AB=4，AD=3， ， ， ，则 等于   
　　A．85     B．      C．    D．50
　　5．B   只需将 ，利用 即可求得 .
　　6.已知正四面体O-ABC，E、F分别为AB、AC的中点，则OE与BF所成的角的余弦值为
　　A.  B.  C.   D.
　　6.A 设正四面体O-ABC的棱长为1， ,
　　则 ，
　　,故OE与BF所成角的余弦值为 .
　　7．设A、B、C、D是空间不共面的四点，且满足 ，则BCD是    
　　A．钝角三角形 B．锐角三角形 C．直角三角形 D．不确定
　　7.B  过点A的棱两两垂直，通过设棱长应用余弦定理可得三角形为锐角三角形．
　　8.设G为 的重心， ,则 的值为
　　A.  B.3 C.-3 D. 
　　8.D  对于G为 的重心，可得 ，从而可得:
　　可设 ，容易得 的值为 .
　　9.在三棱柱ABC-A1B1C1 中， ,AB=BC=AA1， ,点E、F分别是棱AB、BB1的中点，则直线EF与BC1所成的角是
　　A.  B.  C.   D. 
　　9.B 以B点为坐标原点，以BC、BA、BB1分别为x,y,z轴建立空间直角坐标系，
　　设AB=BC=AA1=2，则
　　.
　　10.如图所示，ABCD-EFGH为边长等于1的正方体，若P点在正方体的内部且满足 ,则P点到直线AB的距离为
　　A.   B.   C.   D. 
　　10.A 过P作 于M，过M作 于N，连接PN，则PN即为所求. , , .
　　11.正四棱锥S-ABCD的侧棱长为 ，底面的边长为 ，E是SA的中点，则异面直线BE和SC所成的角等于
　　A.  B.   C.  D. 
　　11.C 设S在底面的射影为O，以OA、OB、OS所在直线x,y,z轴建立坐标系如图.
　　则 
　　E点坐标为 ,
　　, 异面直线BE与SC的夹角为 .
　　12.已知 ，且 ，则 等于
　　A.1  B.  C.   D.
　　12.D  ,知 ,说明 与 方向相同，
　　.
　　二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上.
　　13．若 ， ，则 为邻边的平行四边形的面积为               ．
　　13．    ，得 ， .
　　14．已知空间四边形OABC，其对角线为OB、AC，M、N分别是对边OA、BC的中点，点G在线段MN上，且 ，现用基组 表示向量 ，有 =x ，则x、y、z的值分别为                    ．
　　14．  ；
　　15.直三棱柱 中， 且 ，E、F分别是AB，CC1的中点，那么A1C与EF所成的角的余弦值为_________.
　　15.   分别以BA，BC，BB1为x,y,z轴建系，则
　　.
　　16.已知正方体ABCD-A1B1C1D1
　　① ;②
　　③向量 与向量 的夹角是
　　④正方体ABCD-A1B1C1D1的体积为
　　其中正确的命题序号为_____________.
　　16. ①②   ①中， ,故①正确；
　　②中 ，故②正确；③中 与 两异面所成角为 ，但 与 的夹角为 ，故③不正确；④中 ,故④也不正确.
　　三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
　　17．(本小题满分10分)
　　如图所示，已知空间四边形ABCD的每条边和对角线的长都等于 ，M、N分别为边AB、CD的中点。
　　(1)求MN的长；（2）求异面直线AN与CM所成角的余弦值。
　　17.解：如图所示，设 ，由题意可知 ，且 三向量两两夹角均为 。
　　（1）
　　MN的长为 。
　　（2）设向量 与 的夹角为 ，
　　.
　　又 ，
　　且
　　向量 与 的夹角的余弦值为 ，从而异面直线AN与CM的夹角的余弦值为 .
　　18. （本小题满分12分）如图，在直四棱柱ABCD-A1B1C1D1的底面是菱形， ，E、F分别是棱 与BB1上的点，且EC=BC=2FB=2.
　　(1)求证：平面AEF 平面AA1C1C;
　　(2)求截面AEF与底面ABCD所成二面角的大小.
　　18.解：以O为原点， 分别为x,y,z轴建立直角坐标系.
　　由条件知：EC=BC=2，FB=1，OA=1，OB= ,从而 .
　　（1）连结AE与OO1交于M，连结MF，可得
　　则 ，即 ,所以 .
　　（2）取EF中点//底面ABCD，所以只要求面AEF与MFG所成的二面角即可.
　　G（0，1，1）， ，即 ，可见 是面AEF与面MFG所成二面角的平面角.在 中， ,
　　显然 ，所求二面角的大小为 .
　　19．（本小题满分12分）四棱锥P—ABCD中，底面ABCD是一个平行四边形，  ={2，－1，－4}， ={4，2，0}， ={－1，2，－1}.
　　（1）求证：PA⊥底面ABCD；
　　（2）求四棱锥P—ABCD的体积；
　　（3）对于向量 ={x1，y1，z1}， ={x2，y2，z2}， ={x3，y3，z3}，定义一种运算：
　　（ × ）• =x1y2z3+x2y3z1+x3y1z2－x1y3z2－x2y1z3－x3y2z1，试计算（ × ）• 的绝对值的值；说明其与四棱锥P—ABCD体积的关系，并由此猜想向量这一运算（ × ）• 的绝对值的几何意义.．
　　19．(1）证明：∵ =－2－2+4=0，∴AP⊥AB.
　　又∵ =－4+4+0=0，∴AP⊥AD.
　　∵AB、AD是底面ABCD上的两条相交直线，∴AP⊥底面ABCD.
　　（2）解：设 与 的夹角为θ，则
　　cosθ=
　　V= | |•| |•sinθ•| |=
　　（3）解：|（ × ）• |=|－4－32－4－8|=48它是四棱锥P—ABCD体积的3倍.
　　猜测：|（ × ）• |在几何上可表示以AB、AD、AP为棱的平行六面体的体积（或以AB、AD、AP为棱的直四棱柱的体积）.
　　20.（本小题满分12分）如图，在三棱锥P-OAC中，OP、OA、OC两两互相垂直，且OP=OA=1，OC=2，B为OC的中点.
　　（Ⅰ）求异面直线PC与AB所成角的余弦值；
　　（Ⅱ）求二面角C-PA-B的余弦值.
　　20.解：如图2，建立空间直角坐标系，则
　　A（1，0，0），B（0，1，0），C（0，2，0），P（0，0，1）
　　（Ⅰ）  =（0，2，0），  =（-1，1，0）
　　cos<  ,   >=
　　（Ⅱ）取PA的中点E，则PA⊥平面EOC，故PA⊥EB，PA⊥EC.
　　∴∠BEC为二面角B-PA-C的平面角，
　　∵E（ ，0， ）， =（- ，1，- ）， =（- ，2，- ）
　　∴cos< ,   >= 
　　∴二面角C-PA-B的余弦值为
　　21. （本小题满分12分）在直三棱柱ABC-A1B1C1中，BC=2，CC1=4，点E在线段BB1上，且EB1=1，D、F、G分别为CC1，C1B1，C1A1的中点.
　　（1）求证：
　　（2）求证：平面BGF//平面ABD
　　（3）求平面BGF与平面ABD的距离.
　　21.解（1）如图，由条件知，BA，BC，BB1两两相互垂直，以B为坐标原点，BA、BC、BB1所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立直角坐标系.
　　由条件知B(0,0,0),D(0,2,2),B1(0,0,4)
　　设 ，则
　　所以， ,
　　所以 ，
　　因此 .
　　（2）由题意知E（0，0，3），
　　所以 ， ，
　　所以 ，结合（1）可知，面EGF//面ABD.
　　(3)由（1）、（2）知， 是平面ABD的法向量，
　　所以 在 上的射影长 ，
　　所以点F到平面ABD的距离为 .
　　由（2）知，面EGF与面ABD的距离即点F到面ABD的距离为 .
　　22．(本小题满分12分) 如图所示,已知长方体 中， ， 与平面 所成的角为 ， 于 ， 为 的中点．
　　（1）求异面直线 与 所成的角的余弦值；
　　（2）求平面 与平面 所成二面角（锐角）的余弦值；
　　（3）求点A到平面 的距离．
　　22.解：建立如图所示的空间直角坐标系．由已知
　　，可得
　　又 ，从而BD与平面 所成的角
　　即为 ．
　　又
　　从而易求得
　　（1）因为
　　所以
　　即异面直线AE、BF所成的角的余弦值为            
　　（2）易知平面 的一个法向量 ．
　　设 是平面BDF的一个法向量．
　　又 ，
　　所以
　　取 ，所以 ，即平面BDF与平面 所成的二面角（锐角）的余弦值为 ．
　　（3）点 到平面BDF的距离，即 在平面BDF的法向量 上的投影的绝对值．所以距离
　　故点 到平面BDF的距离为 ．
　　参考答案
　　1．A   = + （－ ）=－  +  + ．
　　2.C
　　3.B 
　　.
　　4.C  .
　　5．B   只需将 ，利用 即可求得 .
　　6.A 设正四面体O-ABC的棱长为1， ,
　　则 ，
　　,故OE与BF所成角的余弦值为 .
　　7.B  过点A的棱两两垂直，通过设棱长应用余弦定理可得三角形为锐角三角形．
　　8.D  对于G为 的重心，可得 ，从而可得:
　　可设 ，容易得 的值为 .
　　9.B 以B点为坐标原点，以BC、BA、BB1分别为x,y,z轴建立空间直角坐标系，
　　设AB=BC=AA1=2，则
　　.
　　10.A 过P作 于M，过M作 于N，连接PN，则PN即为所求. , , .
　　11.C 设S在底面的射影为O，以OA、OB、OS所在直线x,y,z轴建立坐标系如图.
　　则 
　　E点坐标为 ,
　　, 异面直线BE与SC的夹角为 .
　　12.D  ,知 ,说明 与 方向相同，
　　.
　　13．    ，得 ， .
　　14．  ；
　　15.   分别以BA，BC，BB1为x,y,z轴建系，则
　　.
　　16. ①②   ①中， ,故①正确；
　　②中 ，故②正确；③中 与 两异面所成角为 ，但 与 的夹角为 ，故③不正确；④中 ,故④也不正确.
　　17.解：如图所示，设 ，由题意可知 ，且 三向量两两夹角均为 。
　　（1）
　　MN的长为 。
　　（2）设向量 与 的夹角为 ，
　　.
　　又 ，
　　且
　　向量 与 的夹角的余弦值为 ，从而异面直线AN与CM的夹角的余弦值为 .
　　18.解：以O为原点， 分别为x,y,z轴建立直角坐标系.
　　由条件知：EC=BC=2，FB=1，OA=1，OB= ,从而 .
　　（1）连结AE与OO1交于M，连结MF，可得
　　则 ，即 ,所以 .
　　（2）取EF中点//底面ABCD，所以只要求面AEF与MFG所成的二面角即可.
　　G（0，1，1）， ，即 ，可见 是面AEF与面MFG所成二面角的平面角.在 中， ,
　　显然 ，所求二面角的大小为 .
　　19．(1）证明：∵ =－2－2+4=0，∴AP⊥AB.
　　又∵ =－4+4+0=0，∴AP⊥AD.
　　∵AB、AD是底面ABCD上的两条相交直线，∴AP⊥底面ABCD.
　　（2）解：设 与 的夹角为θ，则
　　cosθ=
　　V= | |•| |•sinθ•| |=
　　（3）解：|（ × ）• |=|－4－32－4－8|=48它是四棱锥P—ABCD体积的3倍.
　　猜测：|（ × ）• |在几何上可表示以AB、AD、AP为棱的平行六面体的体积（或以AB、AD、AP为棱的直四棱柱的体积）.
　　20.解：如图，建立空间直角坐标系，则
　　A（1，0，0），B（0，1，0），C（0，2，0），P（0，0，1）
　　（Ⅰ）  =（0，2，0），  =（-1，1，0）
　　cos<  ,   >=
　　（Ⅱ）取PA的中点E，则PA⊥平面EOC，故PA⊥EB，PA⊥EC.
　　∴∠BEC为二面角B-PA-C的平面角，
　　∵E（ ，0， ）， =（- ，1，- ）， =（- ，2，- ）
　　∴cos< ,   >= 
　　∴二面角C-PA-B的余弦值为
　　21.解（1）如图，由条件知，BA，BC，BB1两两相互垂直，以B为坐标原点，BA、BC、BB1所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立直角坐标系.
　　由条件知B(0,0,0),D(0,2,2),B1(0,0,4)
　　设 ，则
　　所以， ,
　　所以 ，
　　因此 .
　　（2）由题意知E（0，0，3），
　　所以 ， ，
　　所以 ，结合（1）可知，面EGF//面ABD.
　　(3)由（1）、（2）知， 是平面ABD的法向量，
　　所以 在 上的射影长 ，
　　所以点F到平面ABD的距离为 .
　　由（2）知，面EGF与面ABD的距离即点F到面ABD的距离为 .
　　22.解：建立如图所示的空间直角坐标系．由已知
　　，可得
　　又 ，从而BD与平面 所成的角
　　即为 ．
　　又
　　从而易求得
　　（1）因为
　　所以
　　即异面直线 、 所成的角的余弦值为            
　　（2）易知平面 的一个法向量 ．
　　设 是平面BDF的一个法向量．
　　又 ，
　　所以
　　取 ，所以 ，即平面BDF与平面 所成的二面角（锐角）的余弦值为 ．
　　（3）点 到平面BDF的距离，即 在平面BDF的法向量 上的投影的绝对值．所以距离
　　故点 到平面BDF的距离为 ．