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　　基础数论讲义
　　第一章  整除性理论
　　一、整除的基本性质
　　1、 d｜a1和d｜a2同时成立的充要条件是，对任意的x1，x2∈Z，有d｜a1x1＋a2x2。
　　2、a｜b和b｜a同时成立的充要条件是｜a｜＝｜b｜≠0。
　　3、设a｜b。若b≠0，则｜a｜≤｜b｜。不等于0的整数只能有有限个除数；
　　4、 设ax＋my=1。那么，m｜ab的充要条件是m｜b。一般地，对正整数h，k，
　　mh｜akb的充要条件是mh｜b。
　　二、带余除法
　　带余数除法的基本形式) 对任给的整数a≠0和b，一定存在唯一的一对整数q和r，满足                b＝qa＋r，    0≤r＜｜a｜。         (1)
　　上式中的q称为是b被a除所得的部分商，r称为是b被a除所得的最小非负余数。此外，b被a整除的充要条件是r=0。
　　证 先证唯一性。假设还有一对整数q’和r’满足式(1)，即b＝q’a＋r’，    0≤r’＜｜a｜。 这样就有qa＋r＝q’a＋r’。不妨设r≤r’。若r’=r，则有q’=q，所以结论成立。若r＜r’，可得0＜r’－r＝a(q－q’)。因而｜a｜≤r’－r。另一方面，0＜r’－r＜｜a｜。矛盾。所以，必有r’=r，q’=q。下面证存在性。若b被a整除，即存在整数l使得b＝la，则可取q=l，r=0。若b不被a整除，考虑集合S={s=b－ja：j∈Z}。显见，0不属于S，以及集合S中必有正整数(为什么)。由最小正整数原理知，在集合S中必有最小的正整数，设为s0=b－j0a。必有0＜s0＜｜a｜。若不然，则有｜a｜≤s0。因b不被a整除，所以｜a｜＜s0(为什么)。因此0<s=s0－｜a｜=b－j0a－｜a｜＜s0是属于S的正整数，这和s0是S中的最小的正整数矛盾。这样，取q=j0，r=s0，就得到式(1)。最后，由式(1)知，b被a整除的充要条件是r被a整除。由此及0≤r＜｜a｜，就推岀r被a整除的充要条件是r=0。证毕。
　　三、最大公约数和最小公倍数
　　性质1 (i) a1，a2，…，ak的最大公约数与这些数的次序无关，即若a11，a12，…，a1k是a1，a2，…，ak的一个重新排列，则(a1，a2，…，ak)=(a11，a12，…，a1k)。
　　(ii) 任意改变a1，a2，…，ak的正负号，它们的最大公约数不变。事实上，总有
　　(a1，a2，…，ak)=(｜a1｜，｜a2｜，…，｜ak｜)。