北京四中“矩阵变换·数论”选修课同余讲义

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  • 资源类别: 北京版 / 高中教案 / 选修四教案
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  • 更新时间: 2010/1/1 18:15:41
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  约2550字。
     第二讲    同余及数论四大定理
  一、同余符号
  【定义】 设m是大于1的正整数,a,b是整数,如果m|(a-b),则称a与b关于模m同余,记作a≡b(mod m),读作a同余b模m。或读作a与b关于模m同余。
  比如 26 ≡ 14 (mod 12)
  基本性质:
  (1) 若a≡0(mod m),则m|a
  (2) a≡b(mod m)等价于a与b分别用m去除,余数相同.
  证明:
  充分性:设a=mq1+r1  b=mq2+r2  0≤r1,r2<m
  ∵a≡b(mod m),∴m|(a-b),a-b=m(q1-q2)+(r1-r2)
  则有m|(r1-r2)
  ∵0≤r1,r2<m,∴0≤|r1-r2|<m
  即r1-r2=0,∴r1=r2
  必要性:设a,b用m去除余数为r,即a=mq1+r,b=mq2+r
  a-b=m(q1-q2) ∴m|(a-b)
  二、性质
  1 反身性 a ≡ a (mod m)
  2 对称性 若a ≡ b(mod m) 则b ≡ a (mod m)
  3 传递性 如果a ≡ b (mod m),b ≡ c (mod m) 那么a ≡ c (mod m)
  4 同余式相加  如果a ≡ b (mod m),c ≡ d (mod m) 那么a±c ≡ b±d (mod m)
  【证明】   ∵a≡b(mod m),∴m|(a-b) 同理 m|(c-d)
  ∴m|[(a-b)±(c-d)] ∴m|[(a±c)-(b±d)]
  ∴a ± c ≡ b ± d (mod m) 
  5 同余式相乘  如果a ≡ b (mod m),c ≡ d (mod m) 那么ac ≡ bd (mod m)
  【证明】                                                           
  
  ∴a * c ≡ b * d (mod m)
  6 除法                                                              
  特别地 若               , 则                           
  7 乘方 如果a ≡ b (mod m),那么an ≡ bn (mod m)
  8 若a ≡ b (mod m),n|m,则 a ≡ b (mod n)
  9 若a ≡ b (mod mi) i=1,2...n 则 a ≡ b (mod [m1,m2,…mn]) 其中[m1,m2,…mn]表示m1,m2,...mn 的最小公倍数 
  特别地 若m1,m2,...mn 两两互素,则有a ≡ b (mod m1m2…mn)
  三、数论四大定理
  1 欧拉定理
  设a,m∈N,(a,m)=1,则aφ(m)≡1(mod m)
  (注1: φ(m)为欧拉函数,见补充材料)
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