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     2.3 总体特征数的估计
　　教学目标
　　1．通过实例理解样本的数字特征，如平均数，方差，标准差．
　　2．能根据实际问题的需求合理地选取样本，从数据样本中提取基本的数字特征，并作出合理的解释．
　　重点难点
　　重点（1）用算术平均数作为近似值的理论根据．（2）方差和标准差刻画数据稳定程度的理论根据．
　　难点：（1）平均数对总体水平进行评价时的可靠性(和中位数和众数之间的联系)．（2）通过实例使学生理解样本数据的方差，标准差的意义和作用．
　　教学过程
　　一．算术平均数和加权平均数
　　（一）问题情境
　　某校高一(1)班同学在老师的布置下，用单摆进行测试，以检验重力加速度．全班同学两人一组，在相同条件下进行测试，得到下列实验数据(单位：ｍ／s2)：
　　9．62　　　 9．54　 　　9．78　　　　 9．94　　　10．01　　　　9．66　　　9．88　
　　9．68　　　 10．32 　　 9．76   　　  9．45  　　9．99  　　　 9．81 　　 9．56 
　　9．78 　　　 9．72  　 　9．93  　　　 9．94  　　9．65  　 　  9．79       9．42   9．68       9．70       9．84         9．90
　　问题1：怎样用这些数据对重力加速度进行估计？
　　一般地，n个数据按大小顺序排列，处于最中间位置的一个数据（或最中间两个数据的平均数）叫做这组数的中位数（median）．
　　一般地，n个数据按大小顺序排列，处于最中间位置的一个数据（或最中间两个数据的平均数）叫做这组数的中位数
　　一组数据中出现次数最多的那个数据叫做这组数的众数，
　　算术平均数是指资料中各观测值的总和除以观测值个数所得的商，简称平均数或均数．
　　问题2：用这些特征数据对总体进行估计的优缺点是什么？
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　　用平均数作为一组数据的代表，比较可靠和稳定，它与这组数据中的每一个数都有关系．对这些数据所包含的信息的反映最为充分，因而应用最为广泛，特别是在进行统计推断时有重要作用，但计算较繁琐，并且易受极端数据的影响．
　　用众数作为一组数据的代表，可靠性较差，但众数不受极端数据的影响，并且求法简便，当一组数据中个别数据变动较大时，适宜选择众数来表示这组数据的“集中趋势”．
　　用中位数作为一组数据的代表，可靠性也较差，但中位数也不受极端数据的影响，也可选择中位数来表示这组数据的“集中趋势”．
　　平均数、中位数、众数都是描述数据的“集中趋势”的“特征数”，它们各自特点如下：
　　任何一个样本数据的改变都会引起平均数的改变.这是中位数、众数都不具备的性质，也正是这个原因，与众数、中位数比较起来，平均数可以反映出更多的关于样本数据全体的信息.
　　问题3：我们常用算术平均数 (其中ai(i＝1，2，…，n)为n个实验数据)作为重力加速度的近似值，它的依据是什么呢？
　　处理实验数据的原则是使这个近似值与实验数据之间的离差尽可能地小，我们考虑(x－a1)2＋(x－a2)2＋…＋(x－an)2，当x为何值时，此和最小．
　　(x－a1)2＋(x－a2)2＋…＋(x－an)2＝nx2－2(a1＋a2＋…＋an)x＋ a12＋a22＋…＋an2．
　　所以当x＝a1＋a2＋…＋ann时离差的平方和最小．
　　（二）数学理论
　　故可用x＝a1＋a2＋…＋ann作为表示这个物理量的理想近似值，称其为这ｎ个数据a1＋a2＋…＋an的平均数或均值一般记为：
　　－a＝a1＋a2＋…＋ann．
　　（三）数学应用
　　例1　某校高一年级的甲、乙两个班级（均为50人）的语文测试成绩如下（总分：150分），试确定这次考试中，哪个班的语文成绩更好一些．
　　甲班：
　　112 　86 　106　 84　 100　 105 　98　 102　 94　 107
　　87 　 112　 94 　94　 99　　 90 　120　 98 　95　 119
　　108 　100　 96 　115 　111 　104　 95 　108 　111　105
　　104　 107　 119　 107　 93 　102　 98 　112 　112　 99
　　92　　102　 93　 84 　94 　　94 　100 　90 　　84 　114
　　乙班
　　116　 95　 109　 96　 106　 98　 108　 99　 110　 103
　　94 　98 　　105 　101 　115 　104 112 　101 　113 　96
　　108  100 　　110 　98 　107 　87 　108 　106 　103 　97
　　107 　106 　111 　121 　97 　107 　114 　122 　101  107
　　107 　111 　114 　106 　104 　104 　95 　111 　111 　110
　　分析：我们可用一组数据的平均数衡量这组数据的水平，因此，分别求得甲、乙两个班级的平均分即可．
　　解：用科学计算器分别求得
　　甲班的平均分为101．1，
　　乙班的平均分为105．4，
　　故这次考试乙班成绩要好于甲班．
　　此处介绍Excel的处理方法．
　　例2：已知某班级13岁的同学有4人，14岁的同学有15人，15岁的同学有25人，16岁的同学有6人， 求全班的平均年龄．
　　解：13×4＋14×15＋15×25＋16×64＋15＋25＋6
　　＝13×450＋14×1550＋15×2550＋16×650
　　这里的450，1550，2550，650，其实就是13，14，15，16的频率．
　　[数学理论]一般地若取值为x1，x2，…xn的频率分别是p¬1，p2，…pn，则其平均数为x1p1＋x2p2＋…＋xnpn．
　　睡眠时间 人 数 频 率
　　[6，6．5) 5 0．05
　　[6．5，7) 17 0．17
　　[7，7．5) 33 0．33
　　[7．5，8) 37 0．37
　　[8，8．5) 6 0．06
　　[8．5，9] 2 0．02
　　合计 100 1
　　例3．下面是某校学生日睡眠时间的抽样频率分布表(单位：h)，试估计该校学生的日平均睡眠时间．
　　分析：要确定这100名学生的平均睡眠时间，就必须计算其总睡眠时间．由于每组中的个体睡眠时间只是一个范围，可以用各组区间的组中值近似地表示．
　　解法1：总睡眠时间约为
　　6.25×5＋6.75×17＋7.25×33＋7.75×37＋8.25×6
　　＋8.75×2＝739（ｈ）．
　　故平均睡眠时间约为7.39ｈ．
　　解法2：求组中值与对应频率之积的和
　　原式＝6.25×0.05＋6.75×0.17＋7.24×0.33
　　＋7.75×0.37＋8.25×0.06＋8.75×0.02＝7.39（ｈ）．
　　答　估计该校学生的日平均睡眠时间约为7.39ｈ．
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　　例4．某单位年收入在10000到15000、15000到20000、20000到25000、25000到30000、30000到35000、35000到40000及40000到50000元之间的职工所占的比分别为10％，15％，20％，25％，15％，10％和5％，试估计该单位职工的平均年收入．
　　分析：上述比就是各组的频率．
　　解 估计该单位职工的平均年收入为
　　12500×10％＋17500×15％＋22500×20％＋27500×25％＋32500×15％
　　＋37500×10％＋45000×5％＝26125（元）．
　　答估计该单位人均年收入约为26125元．
　　例5．小明班数学平均分是78分，小明考了80分，老师却说他是倒数几名，你觉得这可能吗？(再看书P64思考)
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　　二．方差与标准差
　　（一）问题情境
　　为了提高农副产品的国际竞争力，一些行业协会对农副产品的规格进行了划分．某外贸公司要进口一批规格为75g的鸡腿，现有2个厂家提供货源，它们的价格相同鸡腿的品质也相近．质检员分别从甲、乙两厂的产品中抽样调查了20只鸡腿，它们的质量(单位：g)如下：
　　甲厂 75 74 74 76 73 76 75 77 77 74
　　74 75 75 76 73 76 73 78 77 72