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约5320字。
2009年全国中考数学压轴题精选精析（二）
　　13.（09年广东茂名）25．（本题满分10分）
　　已知：如图，直线：经过点一组抛物线的顶点（为正整数）依次是直线上的点，这组抛物线与轴正半轴的交点依次是：（为正整数），设
　　（1）求的值； （2分）
　　（2）求经过点的抛物线的解析式（用含的代数式表示） （4分）
　　（3）定义：若抛物线的顶点与轴的两个交点构成的三角形是直角三角形，则这种抛物线就称为：“美丽抛物线”．
　　探究：当的大小变化时，这组抛物线中是否存在美丽抛物线？若存在，请你求出相应的的值． （4分）
　　（09年广东茂名25题解析）解：（1）∵在上，∴，∴． 2分
　　（2）由（1）得：，∵在上，
　　∴当时，，∴． 3 分
　　解法一：∴设抛物线表达式为：， 4分
　　又∵，∴，∴，∴， 5 分
　　∴经过点的抛物线的解析式为：． 6 分
　　解法二：∵，∴，，
　　∴设， 4 分
　　把代入：，得， 5 分
　　∴抛物线的解析式为． 6 分
　　（3）存在美丽抛物线． 7 分
　　由抛物线的对称性可知，所构成的直角三角形必是以抛物线顶点为直角顶点的等腰直角三角形，∴此等腰直角三角形斜边上的高等于斜边的一半，又∵，∴等腰直角三角形斜边的长小于2，∴等腰直角三角形斜边上的高必小于1，即抛物线的顶点的纵坐标必小于1．
　　∵当时，，
　　当时，，
　　当时，，
　　∴美丽抛物线的顶点只有． 8分
　　①若为顶点，由，则； 9分
　　②若为顶点，由，则，
　　综上所述，的值为或时，存在美丽抛物线．